Jordan标准形相关理论: \(\lambda\) 矩阵, 初等因子, 不变因子.
默认已经了解了Jordan标准形的相关定义.
Jordan标准形定理
Jordan标准形定理是线性代数里最深刻的结果
定理 复数域上任意一个 \(n\) 阶方阵 \(A\) 都相似于一个Jordan标准形. 即 \(\forall A\in\mathbb{C}^{n\times n}\), \(\exists\) 可逆阵 \(P\), s.t. \[P^{-1}AP=\begin{bmatrix}J_{m_1}(\lambda_1)&&\\ &\ddots&\\ &&J_{m_s}(\lambda_s)\end{bmatrix},\] 其中 \(J_{m_t}(\lambda_t)\) \((t=1,\cdots,s)\) 为 \(A\) 的特征\(\lambda\)矩阵 \(\lambda I-A\) 的初等因子 \((\lambda-\lambda_t)^{m_t}\) 所对应的 \(m_t\) 阶Jordan块 \[\begin{bmatrix}\lambda_t&1&0&\cdots&0\\ &\lambda_t&1&\ddots&\vdots\\ &&\ddots&\ddots&0\\ &&&\lambda_t&1\\ &&&&\lambda_t\\ \end{bmatrix}_{m_t\times m_t}.\]
在不考虑Jordan块顺序的情况下, Jordan标准形是唯一的.
\(\lambda-\) 矩阵
\(\lambda-\) 矩阵
定义 设 \(F\) 是一个数域, \(\lambda\) 是一个未定元, \(f_{ij}(\lambda)\in F[\lambda]\), \(i=1,\cdots,m\), \(j=1,\cdots,n\). 一元多项式环 \(F[\lambda]\) 上的矩阵 \[\begin{bmatrix}f_{11}(\lambda)&f_{12}(\lambda)&\cdots&f_{1n}(\lambda)\\ f_{21}(\lambda)&f_{22}(\lambda)&\cdots&f_{2n}(\lambda)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ f_{m1}(\lambda)&f_{m2}(\lambda)&\cdots&f_{mn}(\lambda)\\ \end{bmatrix}\] 是一个 \(\lambda-\) 矩阵.
\(\lambda-\) 矩阵的初等变换
- 交换两行/两列;
- 用一个非零常数乘某行/某列;
- 用一个多项式 \(g(\lambda)\) 乘以某一行/列加到另一行/列上.
\(\lambda-\) 矩阵的等价标准形
定理 任一个非零的 \(m\times n\) 的 \(\lambda-\) 矩阵 \(A(\lambda)\) 都可以变换成以下形式的一个矩阵 \[\begin{bmatrix}D(\lambda)_{r\times r}& \\ &0\\ \end{bmatrix}\] 其中 \[D(\lambda)_{r\times r}=\begin{bmatrix}d_1(\lambda)&&&\\ &d_2(\lambda)&&\\ &&\ddots&\\ &&&d_r(\lambda)\\ \end{bmatrix}\] 其中 \(r={\rm rank}A(\lambda)\), \(d_i\) 是首一多项式, 且满足 \[d_i(\lambda)\vert d_{i+1}(\lambda),~i=1,2,\cdots,r-1.\] 这样的矩阵被称为 \(A(\lambda)\) 的等价标准形.
不变因子和初等因子
行列式因子
定义
定义 设 \(A(\lambda)\) 是 \(m\times n\) 的 \(\lambda-\) 矩阵. 对于 \(k\leqslant \min\{m,n\}\), \(A(\lambda)\) 的所有 \(k\) 阶子式的首一最大公因式 \(D_k(\lambda)\) 称为 \(A(\lambda)\) 的 \(k\) 阶行列式因子.
性质
- 行列式因子在 \(\lambda-\) 矩阵的初等变换下不变.
- 上条可直接推出 \(\lambda-\) 矩阵的等价标准形是唯一的.
不变因子
定义
定义 \(\lambda-\) 矩阵 \(A(\lambda)\) 对角线的非零元素 \(d_i(\lambda)\), \((i=1,\cdots,r)\) 称为 \(A(\lambda)\) 的不变因子.
与行列式因子的关系
不变因子与行列式因子有如下关系: \[d_1(\lambda)=D_1(\lambda),d_2(\lambda)=\frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)},\cdots,d_r(\lambda)=\frac{D_r(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}\]
初等因子
定义 设 \(n\) 阶 \(\lambda-\) 矩阵 \(A(\lambda)\) 的不变因子 \(d_1,\cdots,d_r\) 的标准分解为 \[d_1(\lambda)=p_1(\lambda)^{k_{11}}p_2(\lambda)^{k_{12}}\cdots p_s(\lambda)^{k_{1s}},\] \[d_2(\lambda)=p_1(\lambda)^{k_{21}}p_2(\lambda)^{k_{22}}\cdots p_s(\lambda)^{k_{2s}},\] \[\cdots\cdots\cdots\cdots\] \[d_r(\lambda)=p_1(\lambda)^{k_{r1}}p_2(\lambda)^{k_{r2}}\cdots p_s(\lambda)^{k_{rs}},\] 其中 \(r={\rm rank}A(\lambda)\), \(p_i(\lambda)\) 是两两不同的首一不可约多项式, 且 \[0\leqslant k_{1i}\leqslant k_{2i}\leqslant \cdots\leqslant k_{ri},~i=1,2,\cdots,s.\] 分解式中的 \(p_i(\lambda)\) 的非零次幂, 叫做 \(A(\lambda)\) 的初等因子.
- 当 \(F=\mathbb{C}\) 时, \(p_i(\lambda)\) 都是形如 \(\lambda-\lambda_i\) 的一次因式.
Jordan标准形的求法: \(\lambda-\) 矩阵
\(\lambda-\) 矩阵法
按照以下步骤进行:
1. 求出\(A\) 的特征 \(\lambda-\) 矩阵
直接求 \(\lambda I-A\) 即可.
2. 求 \(\lambda I-A\) 的等价标准形
利用 \(\lambda-\) 矩阵的初等变换求出 \(\lambda I-A\) 的等价标准形, 记为 \[\begin{bmatrix}d_1(\lambda)&&&\\ &d_2(\lambda)&&\\ &&\ddots&\\ &&&d_n(\lambda)\\ \end{bmatrix}\] 则 \(d_i(\lambda)\) 是 \(A\) 的不变因子.
3. 根据初等因子求Jordan块
对 \(d_i(\lambda)\) 进行标准分解\[d_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_{i_1})^{m_{i_1}}(\lambda-\lambda_{i_2})^{m_{i_2}}\cdots (\lambda-\lambda_{i_t})^{m_{i_t}}\] 其中 \(\lambda_{i_j}\) 互不相等, 则在 \(A\) 的Jordan标准形中, \(d_i(\lambda)\) 所对应的 \(t\) 个Jordan块分别为 \[J_{m_{i_1}}(\lambda_{i_1}),J_{m_{i_2}}(\lambda_{i_2}),\cdots,J_{m_{i_t}}(\lambda_{i_t}).\]
一个例子
题目内容
题目 求 \[\begin{bmatrix}-1&-2&6\\ -1&0&3\\ -1&-1&4\\ \end{bmatrix}\] 的Jordan标准形.
简略解答
特征 \(\lambda-\) 矩阵为 \[\lambda I-A=\begin{bmatrix}\lambda+1&2&-6\\ 1&\lambda&-3\\ 1&1&\lambda-4\\ \end{bmatrix}\] 初等变换得到其等价标准形为 \[\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&\lambda-1&0\\ 0&0&(\lambda-1)^2\\ \end{bmatrix}\] 不变因子为 \(\lambda-1\), \((\lambda-1)^2\), 于是初等因子为 \(\lambda-1\), \((\lambda-1)^2\), 故 \(A\) 有一个一阶块, 一个二阶块. 其Jordan标准形为 \[\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}.\]
Jordan标准形的求法: 空间分解
累死, 以后再写==
参考资料
- 王卿文. 线性代数核心思想及应用[M]. 科学出版社, 2012.
- 丘维声. 高等代数-第2版[M]. 高等教育出版社, 2002.
- 王萼芳. 高等代数教程.下册[M]. 清华大学出版社, 1997.
- 霍元极. 高等代数[M]. 北京师范大学出版社, 2009.