含参广义积分一致收敛性的常用判断方法是M判别法, 但M判别法太强, 适用面窄. 故在被积函数取绝对值后不一致收敛时, 常用以下的两种判别法:
- Abel判别法;
- Dirichlet判别法.
M判别法
定理 若 \(\exists M(x)\), s.t.
(1) \(\int_a^{+\infty}M(x){\rm d}x\) 一致收敛.
(2) \(M\) 有界, 即 \[\vert f(x,y)\vert\leqslant M(x)~~~(\forall x\geqslant a,~\forall y\in I),\]
则 \(\int_a^{+\infty} f(x,y){\rm d}x\) 在 \(I\) 绝对一致收敛.
Abel判别法
定理 若 \(\exists g,h\), s.t.
(1) \(\int_a^{+\infty} g(x,y){\rm d}x\) 对 \(y\in I\) 一致收敛;
(2) \(h(x,y)\) 当 \(y\) 固定时, 对 \(x\) 单调, 且一致有界, 即 \(\exists M\)>0, s.t. \[\vert h(x,y)\vert\leqslant M~~(\forall x\geqslant a, \forall y\in I).\]
则 \(\int_a^{+\infty}f(x,y){\rm d}x\) 在 \(I\) 一致收敛.
Dirichlet判别法
定理 若 \(\exists g,h\), s.t.
(1) \(\int_a^{A} g(x,y){\rm d}x\) 一致有界, 即 \(\exists M>0\), s.t. \[\left|\int_a^A g(x,y){\rm d}x\right|\leqslant M~~~(\forall A\geqslant a, \forall y\in I);\] (2) \(h(x,y)\) 当 \(y\) 固定时, 对 \(x\) 单调, 且当 \(x\to +\infty\) 时, \[h(x,y)\rightrightarrows0.\]
则 \(\int_a^{+\infty}f(x,y){\rm d}x\) 在 \(I\) 一致收敛.