分块矩阵的几个应用:
- 特征多项式降阶定理(Sylvester公式);
- 秩的第一和第二降阶定理;
- Sylvester不等式和Frobenius不等式.
- 一个例子
特征多项式降阶定理
定理内容
定理 设 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵, \(B\) 是 \(n\times m\) 矩阵, 且 \(m\geqslant n\), 则 \[\vert\lambda I_m-AB\vert=\lambda^{m-n}\vert\lambda I_n-BA\vert.\]
简略证明
考虑到等式左右的行列式形式, 构造分块矩阵 \[\begin{bmatrix}\lambda I_m & A \\ B & I_n \\ \end{bmatrix},\]
然后构造广义初等矩阵: \[\begin{bmatrix}I_m & -A \\ 0 & I_n\\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix}I_m & -\frac{1}{\lambda}A \\ 0 & I_n \\ \end{bmatrix}.\] 则有 \[\begin{bmatrix}I_m & -A \\ 0 & I_n\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda I_m & A \\ B & I_n \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda I_m-AB & 0 \\ B & I_n \\ \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix}\lambda I_m & A \\ B & I_n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_m & -\frac{1}{\lambda}A \\ 0 & I_n \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda I_m & 0 \\ B & I_n-\frac{1}{\lambda}BA \\ \end{bmatrix}\]
取行列式, 即有: \[\vert \lambda I_m-AB\vert=\begin{vmatrix}\lambda I_m & A \\ B & I_n \\ \end{vmatrix}=\vert\lambda I_m\vert\vert I_n-\frac{1}{\lambda}BA\vert.\]
其他形式
为了应用上的方便, 常写为 \[\vert\lambda I_m+AB\vert=\lambda^{m-n}\vert\lambda I_n+BA\vert.\]
秩的第一降阶定理
定理内容
定理 设 \(A\) 可逆, \(\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}\) 是 \(m\times n\) 矩阵, 则 \[r\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}=r(A)+r(D-CA^{-1}B).\]
简略证明
构造广义初等矩阵: \[\begin{bmatrix}I&0\\ -CA^{-1}&I\\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix}I&-A^{-1}B\\ 0&I\\ \end{bmatrix}.\] 则 \[\begin{bmatrix}I&0\\ -CA^{-1}&I\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I&-A^{-1}B\\ 0&I\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&0\\ 0&D-CA^{-1}B\\ \end{bmatrix}\] 于是 \[r\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}A&0\\ 0&D-CA^{-1}B\\ \end{bmatrix}=r(A)+r(D-CA^{-1}B).\]
秩的第二降阶定理
定理内容
定理 设 \(A\), \(D\) 分别是 \(m\) 阶与 \(n\) 阶可逆矩阵, \(B\), \(C\) 分别是 \(m\times n\) 和 \(n\times m\) 矩阵, 则 \[r(D-CA^{-1}B)=r(D)-r(A)+r(A-BD^{-1}C).\]
简略证明
思路与第一降阶定理完全相同, 略去.
Sylverster不等式
\[\min\{r(A),r(B)\}\geqslant r(AB)\geqslant r(A)+r(B)-n.\]
定理内容
定理 设 \(A\), \(B\) 分别是 \(m\times n\) 和 \(n\times l\) 矩阵, 则 \[r(AB)\geqslant r(A)+r(B)-n.\]
简略证明
证法一
由第一降阶定理, 有: \[\begin{align} r(AB) &= r(0+AI_n^{-1}B)=r\begin{bmatrix}I_n&B\\ -A&0\\ \end{bmatrix}-r(I_n) \\ &= r\begin{bmatrix}I_n&B\\ -A&0\\ \end{bmatrix}-n \\ &\geqslant r(A)+r(B)-n. \end{align}\]
证法二
构造分块矩阵: \[\begin{bmatrix}A&0\\ I&B\\ \end{bmatrix},\] 则有 \[\begin{align} r(A)+r(B) &\leqslant r\begin{bmatrix}A&0\\ I&B\\ \end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}0&-AB\\ I&0\\ \end{bmatrix}\\ &= r(I)+r(AB). \end{align}\]
Frobenius不等式
定理内容
定理 \[r(ABC)\geqslant r(AB)+r(BC)-r(B).\]
简略证明
考虑变换: \[\begin{bmatrix}ABC&0\\ 0&B\\ \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}ABC&AB\\ 0&B\\ \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}0&AB\\ -BC&B\\ \end{bmatrix}\] 故有: \[r(ABC)+r(B)=r\begin{bmatrix}0&AB\\ -BC&B\\ \end{bmatrix}\geqslant r(AB)+r(BC).\]
一个例子
题目内容
设 \(A\in F^{n\times n}\), \(f(x),g(x)\in F[x]\) 且 \((f(x),g(x))=1\), 求证 \[f(A)g(A)=0\iff r(f(A))+r(g(A))=n.\]
简略证明
由 \((f(x),g(x))=1\), 可知 \(\exists u(x),v(x)\in F[x]\), s.t. \[u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.\] 故 \[u(A)f(A)+v(A)g(A)=I.\] 故有如下变换: \[\begin{bmatrix}f(A)&0\\ 0&g(A)\\ \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}f(A)&0\\ I&g(A)\\ \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}0&-f(A)g(A)\\ I&0\\ \end{bmatrix}\] 同时取秩, 可得 \[f(A)g(A)=0\iff r(f(A))+r(g(A))=n.\]
一个变形
设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, 则 \[A^2=A\iff r(A)+r(I-A)=n.\]
参考资料
- 王卿文. 线性代数核心思想及应用[M]. 科学出版社, 2012.