北京师范大学泛函分析试题

发表于 | 分类于
  • 2017 泛函分析 期末 杨大春
  • 2018 泛函分析 期末 杨大春
  • 2019 泛函分析 期末 杨大春

2017 期末试题

7, 8, 9 题目不保证与原文完全一致.

  1. 设 \(\mathscr{X}\) 是 \(B^*\) 空间, \(\mathscr{X}_0\) 是 \(\mathscr{X}\) 的子空间, 假定 \(\exists c\in(0,1)\), s.t. \[\inf\limits_{x\in\mathscr{X}_0}\Vert y-x\Vert\leqslant c\Vert y\Vert\quad (\forall y\in\mathscr{X}).\] 求证: \(\mathscr{X}_0\) 在 \(\mathscr{X}\) 中稠.

  2. 设 \(M\) 是Hilbert空间 \(\mathscr{H}\) 的子集, 求证: \[(M^\perp)^\perp=\overline{\mathrm{span}M}.\]

  3. 设 \(\mathscr{H}\) 是Hilbert空间, \(A\in\mathscr{L}(\mathscr{H})\), 且 \(\exists m>0\), s.t. \[\vert (Ax,x) \vert\geqslant m\Vert x\Vert^2\quad (\forall x\in\mathscr{H}).\] 求证: \(\exists A^{-1}\in\mathscr{L}(\mathscr{H})\).

  4. 设 \(\mathscr{X}\) 是复线性空间, \(p\) 是 \(\mathscr{X}\) 上的半模. \(\forall x_0\in\mathscr{X}\), \(p(x_0)\neq 0\). 求证: 存在 \(\mathscr{X}\) 上的线性泛函 \(f\) s.t.
    1. \(f(x_0)=1\);
    2. \(\vert f(x)\vert\leqslant p(x)/p(x_0)~(\forall x\in\mathscr{X})\).

  5. 设 \(\mathscr{X}\) 是 \(B^*\) 空间, \(E\subset\mathscr{X}\) 是非空均衡闭凸集, \(\forall x\in\mathscr{X}\backslash E\). 求证: \(\exists f\in\mathscr{X}^*\) 及 \(\alpha>0\), s.t. \[\vert f(x)\vert<\alpha<\vert f(x_0)\vert\quad (\forall x\in E).\]

  6. 求证: \(B\) 空间是自反的当且仅当其共轭空间是自反的.

  7. (不保证与原题完全一致) 设 \(\mathscr{X},\mathscr{Y}\) 是Banach空间, 设 \(\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})\) 是连续线性算子全体, 证明: 一一映射在其中构成一个开集.

  8. 设 \(\mathscr{H}\) 是Hilbert空间, \(A,B\in\mathscr{L}(\mathscr{H})\), 若对 \(\forall x,y\in\mathscr{X}\), 有 \((Ax,y)=(x,By)\), 证明: \(A\) 连续.

  9. (不保证与原题完全一致) 设 \(\mathscr{X}\) 是自反空间, \(E\) 是其中的闭凸集, 证明: \[\exists x_0\in E,~\text{s.t.}~\Vert x_0\Vert=\inf\limits_{x\in E}\Vert x\Vert.\]

部分简略解答

7, 8, 9 解答不保证正确性.

  1. 用 F.Riesz 引理, 参见习题1.4.13;

  2. 参见习题1.6.5;

  3. 用 Banach 逆映射定理, 参见习题2.3.3;

  4. 用复 Hahn-Banach 定理, 参见习题2.4.3;

  5. 用 Ascoli 定理, 参见习题2.4.10;

  6. 利用自然映射和共轭算子, 参见习题2.5.5;

  7. –这是一个差不多的题目的解答
    先证明一个引理：

    LEMMA 1. \(\mathscr{X}\) 是Banach空间, 设 \(A\in\mathscr{L}(\mathscr{X})\) 且 \(\Vert A\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X} )}<1\), 则 \((I-A)^{-1}\in\mathscr{L}(\mathscr{X})\) 且 \[\Vert (I-A)^{-1}\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})}\leqslant \frac{1}{1-\Vert A\Vert_ {\mathscr{L}(\mathscr{X})}}.\] 证明略…（

    然后仍然是证明开集的正统方法：\(\forall A\), s.t. \(A\in\mathscr{L}(\mathscr{X})\) 且 \(A^{-1}\in \mathscr{L}(\mathscr{X})\)（1. 取集合里的一个元素）, 取 \(\forall T\in\mathscr{L}(\mathscr{X})\), s.t. \(\Vert T-A\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})} <\frac{1}{\Vert A^{-1}\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})}}\)（2. 取一个半径, 考虑以 \(A\) 为心的开球）, 由 LEMMA, 有： \[ \begin{align} \Vert T^{-1}\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})} &= \Vert (T-A+A)^{-1}\Vert_{\mathscr{L} (\mathscr{X})} = \Vert (I+(T-A)A^{-1})^{-1}A^{-1} \Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})} \\ &\leqslant \Vert A^{-1}\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})}\cdot \Vert (I+(T-A)A^{-1})^{-1} \Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})} \\ &\leqslant \Vert A^{-1}\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})}\cdot \frac{1}{1+\Vert (T-A)A^{-1} \Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})}}\quad （由上述引理可得）\\ &< \infty\quad（这里实际上是在证明~T^{-1}~有界） \end{align} \] 其中, \(\Vert (T-A)A^{-1}\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})}\leqslant \Vert T-A\Vert_{\mathscr {L}(\mathscr{X})}\cdot \Vert A^{-1}\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})}<1\). 至此, 我们证明了 \(\forall A\in "\mathscr{L}(\mathscr{X})中的连续线性算子集"\), \(A\) 的邻域 \(B (A,\frac{1}{\Vert A^{-1}\Vert_{\mathscr{L}(\mathscr{X})}})\subset"\mathscr{L}(\mathscr{X}) 中的连续线性算子集"\).（3. 证明 \(\forall A\), 开球都包含在集合里, Over.）
    因此, \(\mathscr{L}(\mathscr{X})\) 中的连续线性算子构成一个闭集.

  8. 由闭图像定理, 只需证明 \(A\) 是闭算子且定义域闭. 考虑到定义域 \(\mathscr{H}\) 显然闭, 只需要证明 \(A\) 是闭算子. 取 \(x_n\to x\in \mathscr{H}\), 设 \(Ax_n\to z\), 则只需证 \(Ax=z\). (由闭算子的定义即可得, 参见课本P96: Def 2.3.9) 一方面, 由内积的连续性, 即有 \((Ax_n,y)\to (z,y)\). 而另一方面又由条件有 \((Ax_n,y)=(x_n,By)\to (x,By)=(Ax,y)\). 于是由极限的唯一性即有 \(Ax=y\), 得证.

  9. (瞎写的) 设 \(d=\inf\limits_{x\in E}\Vert x\Vert\), 由定义可取 \(x_n\in E\), s.t. \(d<\Vert x_n\Vert<d+\frac{1}{n}\). 由于自反空间中闭集是弱自列紧的, 取其收敛子列的弱极限即可.

2019.01泛函题目（所以是 2018 下半年的泛函考试）

只有两个附加题, 不保证题目完全一致且没有解答.感谢李菁泽同学供题.

  1. 设 \(\mathscr{X}\) 是 \(B^*\) 空间, \(\forall x\in\mathscr{X}\), \(\varepsilon_n\) 为一个极限为 \(0\) 的序列, 且有 \[f_n(x)\leqslant \varepsilon_n\Vert f_n\Vert_{\mathscr{X}^*}+C(x).\] 其中 \(C(x)\) 是一个函数（小李同学表示这个条件很懵B…）, 证明：\(\Vert f_n\Vert_{\mathscr{X}^*}\) 一致有界.
  2. \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 上有 \(n\) 个半模 \(p_k(x)~k=1,\cdots,n\), 设线性泛函 \(\varphi(x)\) 满足 \[\vert \varphi(x)\vert\leqslant \sum\limits_{k=1}^n p_k(x),\] 试证：存在线性泛函 \(\varphi_k(x),~(k=1,\cdots,n)\), s.t. \(\varphi(x)=\sum\limits_{k=1}^n\varphi_k(x)\), 且 \(\vert\varphi_k(x)\vert\leqslant p_k(x),~(k=1,\cdots,n)\).
  • 感谢汪玲同学提供上述第 2 题的解答：
2018年泛函附加题 2

2019.12.30 泛函题目（所以是 2019 下半年的泛函考试）

依然是两个附加题, 不保证题目完全一致且没有解答. 感谢汪玲同学供题.

  1. 设 \(E\) 是线性空间, 映射 \(p: E\to\mathbb{R}\) 满足：
    1. \(p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)\)；
    2. 固定 \(x\in E\), 映射 \(\varphi: \mathbb{R}\to\mathbb{R},~\lambda\to p(\lambda x)\) 连续；
    3. \(\forall \lambda\in\mathbb{R}\), 若 \(p(x_n)\to 0\), 则 \(p(\lambda x_n)\to 0\).
    求证：
    1. \(p(0)=0\)；
    2. \(\{\alpha_n\}\subset\mathbb{R}\) 有极限且 \(p(x_n)\to 0\), 则 \(p(\alpha_n x_n)\to 0\).
  2. 设 \(\mathscr{X},\mathscr{X}_1,\mathscr{X}_2\) 是 \(B\) 空间, \(T_i\) 是 \(\mathscr{X}\to \mathscr{X}_i\) 的闭算子, 且有：\[D(T_1)\subseteq D(T_2)\]求证 \(\exists C>0\), s.t. \(||T_2x||_{\mathscr{X}_2}\leqslant c(||x||_{\mathscr{X}}+||T_1x||_{\mathscr{X}_1})\), \(\forall x\in D(T_1)\).
  • 感谢汪玲同学提供上述第 2 题的解答:
2019.12 第二题解答