北京师范大学拓扑学试卷

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拓扑学 期末 高红铸.

试题

  1. 叙述 \(T_0\), \(T_1\), \(T_2\) 的定义, 并分别举出 \(T_0\) 但不 \(T_1\), 以及 \(T_1\) 但不 \(T_2\) 的空间的例子.

  2. 在 \(X\times X\) 上定义映射 \(\Delta: X\rightarrow X\times X,~\Delta(x)=(x,x)\), 证明: \(X\) 是Hausdorff空间当且仅当 \(\Delta(X)\) 是 \(X\times X\) 的闭集.

  3. 设 \(\mathcal{T}\) 是 \(\mathbb{R}^1\) 上的余有限拓扑, 讨论其紧性、连通性和道路连通性.

  4. 考虑拓扑群作用 \(\mathbb{S}^1\times B^2\to B^2,~(z,w)\mapsto zw\).
    1. 求 \(B^2\) 中一点 \(w\) 的迷向群;
    2. 证明其轨道空间同构于单位闭区间 \(I\).

  5. \(X\) 是道路连通曲面, 证明: 连续映射 \(f: X\to T^2\) 零伦当且仅当 \(f\) 诱导的同态平凡.

简略解答

有差错不负任何责任.
  1. 定义参见课本P19: Def 2.28. 例子参见课本 P19: Ex 1, Ex 2.
    1. \(T_0\) 但不 \(T_1\): \(X=\{0,1\}\), \(\mathcal{T}=\{\varnothing, \{0\}, X\}\);
    2. \(T_1\) 但不 \(T_2\): \(\mathbb{R}^1\) 上的余有限拓扑.

  2. 题目参见课本 P35 习题3.2 第5题. 解答参见 Zhechen: 拓扑学题目.

  3. 紧致, 连通, 且道路连通. 证明略. 参见课本P47 习题3.4 第7题.

  4. 简略证明:
    1. 迷向群平凡, 直接按照定义求即可;
    2. 考虑映射 \(f: B^2\to I,~re^{i\theta}\mapsto r\). 则 \(f\) 是紧空间到Hausdorff空间的连续满射, 因而是商映射. 于是 \(f/\sim\cong I\). 只需要研究其轨道空间, 说明轨道空间就是 \(X/\sim\) 即可.

  5. 题目类似于课本 P125 习题6.2 的 1,2 题. 简略解答: 考虑复叠映射 \(P: \mathbb{E}^2\to T^2\). 若诱导的同态平凡, 则 \(\mathrm{Im}f_*\subset \mathrm{Im}p_*\), 因而 \(f\) 有提升 \(\tilde{f}\). 又由于 \(\mathbb{E}^2\) 是凸集, 故 \(\tilde{f}\) 零伦, 故 \(f=p\circ\tilde{f}\) 零伦. 反方向略.