说是复习，其实是预习（
点集拓扑
拓扑空间
拓扑空间
- 拓扑: 包含全集和空集, 对任意并和有限交封闭的集类;
- 开集: 拓扑中包含的集合为开集.
几个拓扑的例子
平凡拓扑: \(\{\varnothing, X\}\)(最粗拓扑);
离散拓扑: \(\{U: U\subset X\}\)(最细拓扑);
欧式拓扑: \(\{U: x\in U\Leftrightarrow B(x,\delta)\subset U\}\);
余有限拓扑: \(\{U: U=\varnothing 或 U^c 是有限集\}\)(类似有余可数拓扑).
邻域与开集
邻域
对于包含 \(x\) 的集合 \(N\), 若存在开集 \(O\), s.t. \(x\in O\subset N\), 则称 \(N\) 是 \(x\) 的邻域.
命题 设 \(X\) 是拓扑空间, 则 \(W\) 是 \(X\) 的开集当且仅当 \(W\) 是其中每点的邻域.
闭集
开集的补集称为闭集, 由此可以立刻得到:
- 闭集对任意交和有限并封闭;
- 全集和空集是闭集;
导集
- 聚点: 若 \(p\) 的任意邻域都包含 \(A-\{p\}\) 中的至少一点, 则称 \(p\) 为 \(A\) 的聚点;
- 导集: \(A\) 的聚点全体称为 \(A\) 的导集, 记作 \(A'\);
- 闭包: \(\overline{A}=A\cup A'\).
一个例子: \[A=\{(x,\sin(\frac{\pi}{x}))~\vert~0<x\leqslant 1\},\quad B=\{(0,y)~\vert~-1\leqslant y\leqslant 1\}\Rightarrow \]
关于闭集, 容易得到下列命题:
命题 \(A\) 闭 \(\iff\) \(\overline{A}=A\).
拓扑基
- 拓扑基: 设 \(X\) 是拓扑空间, \(\mathcal{B}\) 是一组开集, s.t. \(X\) 中的任意非空开集可以写成 \(\mathcal{B}\) 中集合的并, 则称 \(\mathcal{B}\) 为该拓扑的一组拓扑基;
- 拓扑基的定义等价于 \(\forall x\in X\) 以及 \(x\) 的开邻域 \(N\), \(\exists B\in\mathcal{B}\), s.t. \(x\in B\subset N\).
关于拓扑基有如下定理:
定理 设 \(\mathcal{B}\) 是集合 \(X\) 的子集构成的子集类, s.t. 1. 设 \(U_1,U_2\in\mathcal{B}\), \(\forall x\in U_1\cap U_2\), \(\exists V\in \mathcal{B}\), s.t. \(x\in V\subset U_1\cap U_2;\) 2. \(\mathcal{B}\) 覆盖 \(X\). 则 \(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 中某个拓扑的拓扑基.
子空间拓扑
- 子空间拓扑: 子空间中的开集是全空间中开集与 \(A\) 的交.
- 子空间中的闭集也是全空间中闭集与 \(A\) 的交.
- 子空间中的开集也是全空间中的开集.
连续性
连续性
- 连续性: 开集的原像是开集.
关于与连续性等价的几个命题
- 开集的原像是开集;
- 拓扑基中集合的原像是开集;
- 闭集的原像是闭集.
连续性的其他结论
- 连续映射的复合映射连续;
- 连续映射在子空间的限制连续;
同胚
- 同胚: 若连续映射 \(f: X\to Y\) 是 \(1-1\) 映射且 \(f^{-1}\) 连续, 则称其为同胚.
关于同胚有以下等价命题:
- \(f\) 是同胚;
- \(f\) 是连续的一一映射并且是开映射;
- \(f\) 是连续的一一映射并且是闭映射.
分离性
分离性
- \(T_0\): 任意一点与另一点分离;
- \(T_1\): 任意两点互相分离 \(\Leftrightarrow\) 单点集是闭集;
- \(T_2\): 任意两点存在各自的开邻域不相交(Hausdorff);
- \(T_3\): 任意闭集与其外一点存在开邻域不相交;
- \(T_4\): 任意两个不相交闭集存在各自开邻域不相交.
一些分离性的例子如下:
\(X=\{0,1\}\), \(\mathcal{T}=\{X,\varnothing,\{0\}\}\): 是 \(T_0\) 但不是 \(T_1\);
\(\mathbb{R}^1\) 上的余有限拓扑是 \(T_1\) 但不是 \(T_2\).
对于Hausdorff空间还有如下命题:
命题 Hausdorff空间 \(X\) 是 \(T_3\) 的当且仅当对于 \(\forall x\) 以及 \(U_x\), \(\exists V_x\), s.t. \[x\in V\subset\overline{V}\subset U.\]
Tietze 扩张定理
Urysohn引理 设 \(X\) 是Hausdorff空间, 则 \(X\) 是 \(T_4\) 的当且仅当对于 \(X\) 内任意不相交的闭集 \(A,B\), 存在 \(X\) 上的连续实函数 \(f\), s.t. \[f\vert_A=1,~f\vert_B=-1,~-1 < f\vert_{X-(A\cup B)} < 1.\]
进一步有 Tietze 扩张定理:
Tietze扩张定理 设 \(X\) 是Hausdorff空间, 则 \(X\) 是 \(T_4\) 的当且仅当对于 \(X\) 内任意闭子集 \(A\) 及任意连续函数 \(f: A\to \mathbb{E}^1\), 存在连续函数 \(g: X\to \mathbb{E}^1\), s.t. \(g\vert_A=f\). 进一步, 若在 \(A\) 上有 \(\vert f\vert\leqslant M\), 则可做到 \(\vert g\vert\leqslant M\).
紧致性
紧致性
- 紧致性: 任意开覆盖含有限子覆盖.
Heine-Borel定理 \(\mathbb{E}^1\) 上的闭区间是紧集.
- 紧致空间的闭子集是紧的.
- Hausdorff空间中的紧集是闭集.
- 紧空间到Hausdorff空间的既单又满的连续映射是同胚.
Bolzano-Weierstrass定理 紧空间的无穷点集必有聚点.
局部紧致
- 局部紧致: \(\forall x\in X\), 存在 \(x\) 的紧致邻域.
- 紧致 \(\Rightarrow\) 局部紧.
乘积空间
乘积拓扑
- 开集 \(\times\) 开集 构成一组拓扑基 \(\mathcal{B}\);
- 乘积拓扑: \(\mathcal{B}\) 决定的拓扑称为乘积拓扑.
自然投影
称映射 \[p_1: X\times Y\to X,~(x,y)\to x;\] \[p_2: X\times Y\to X,~(x,y)\to y;\] 为自然投影.
- \(X\times Y\) 的乘积拓扑是使得自然投影都连续的最粗拓扑;
- \(f:Z\to X\times Y\) 连续 \(\Leftrightarrow\) \(p_1\circ f\) 和 \(p_2\circ f\) 都连续;
- \(X\times Y\) 是Hausdorff空间当且仅当 \(X\), \(Y\) 都是Hausdorff空间;
- \(X\times Y\) 紧致当且仅当\(X\), \(Y\) 都紧致.
连通性
连通性
以下命题等价:
- \(X\) 连通;
- \(X\) 内既开又闭的子集只有 \(X\) 和 \(\varnothing\);
- \(X\) 不能表示为两个不相交的非空开集的并;
- 不存在从 \(X\) 到多于一点的离散拓扑空间的连续满射.
命题 \(\mathbb{E}^1\) 的非空子集连通当且仅当它是一个区间.
关于连通还有如下命题:
- 连通空间的连续像连通;
- \(X\times Y\) 连通当且仅当 \(X\), \(Y\) 都连通;
连通分支
- 连通分支: 极大连通子集.
有如下例子:
- 离散拓扑空间的每一个点是一个连通分支;
- 有理数作为欧氏空间的子空间, 每个点是一个连通分支.
中间值定理 设 \(f: X\to\mathbb{E}^1\) 是一个连续函数, 若 \(f\) 可以取到 \(a,b\), 则 \(f\) 可以取到 \(a,b\) 中间的任何值.
局部连通
- 局部连通: 任意 \(x\), 任意 \(x\) 的邻域 \(U\), 存在连通邻域 \(V\), s.t. \(x\in V\subset U\).
- 连通未必局部连通. (例子: \((x,\sin(\frac{\pi}{x}))\))
道路连通性
道路
- 道路: 连续映射 \(\alpha: I\to X\): 起点为 \(\alpha(0)\), 终点为 \(\alpha(1)\).
- 逆道路: \(\overline{\alpha}(t)=\alpha(1-t)\).
- 道路的乘积: 设 \(\alpha: x\to y\), \(\beta: y\to z\), 定义 \[\gamma(t)=\begin{cases} \alpha(2t), & 0\leqslant t\leqslant\frac{1}{2}, \\\\ s\beta(2t-1), & \frac{1}{2}\leqslant t\leqslant 1, \end{cases}\] 则 \(\gamma\) 为 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的乘积道路.
- 道路的连续像是道路: \(f: X\to Y\) 连续, 则 \(f\circ \alpha\) 是 \(Y\) 中的道路.
道路连通
- 道路连通空间: 任意两点都有道路连接的空间;
- 道路连通空间必定是连通的 (反证法: 若不然, 则与 \(I\) 的连通性矛盾);
- 连通空间未必道路连通: \(\sin(x,\sin(\frac{\pi}{x}))\) (证明 \((0,0)\) 与 \((1,0)\) 之间无道路);
- 道路连通分支: 极大道路连通子集.
局部道路连通
- 局部道路连通: 任意 \(x\), 任意 \(x\) 的邻域 \(U\), 存在道路连通邻域 \(V\), s.t. \(x\in V\subset U\);
- 道路连通未必局部道路连通. (例子: \((\frac{1}{n},t)\cup (0,t)\cup (t,0)~t\in I\))
- 连通+局部道路连通 \(\Rightarrow\) 道路连通.
商空间
商空间
- 商空间: 设 \(X\) 上有等价关系, 则可定义商空间 \(Y=X/\sim\) (把一个等价类捏成一点);
- 投影映射: \(\pi: X\to Y\), \(x\mapsto [x]\);
- 商拓扑: 在商空间 \(Y\) 定义拓扑: \[U\subset Y 是开集 \Leftrightarrow \pi^{-1}(U) 是 X 中的开集\] 则称该拓扑为 \(Y\) 上的商拓扑;
关于商空间, 一个重要的性质如下:
定理 设 \(X\) 是拓扑空间, \(Y\) 是 \(X\) 的商空间, \(Z\) 是任意空间, 则: \[f: Y\to Z ~连续~\Leftrightarrow~f\circ\pi: X\to Z~连续.\]
商空间的例子
\(I^2\) 上商空间的几个例子如下:
- 平环 \(S^1\times I\): \((0,y)\sim(1,y)\);
- Mobius带: \((0,y)\sim(1,1-y)\).
- 球面 \(\mathbb{S}^2\): \((0,y)\sim(1,y)\sim(x,0)\sim(x,1)~\forall x,y\).
粘合两组对边可得环面 \(T^2\) 和Klein瓶:
- 环面 \(T^2\): \((x,0)\sim (x,1)\), \((0,y)\sim (1,y)\); (\(T^2\cong \mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1\))
- Klein瓶: \((x,0)\sim (x,1)\), \((0,y)\sim (1,1-y)\).
在 \(S^n\) 上, 重要的商空间是实投影空间:
- 实投影空间 \(\mathbb{P}^n\): \(x\sim -x\), \(\forall x\in\mathbb{S}^n\).
商映射
商映射: \(f\) 是连续满射, 且 \(U\subset Y\) 是开集 \(\Leftrightarrow\) \(f^{-1}(U)\subset X\) 是开集, 则称 \(f\) 是商映射.
有如下命题:
定理 设 \(f: X\to Y\) 是商映射, 则 1. 映射 \(g: Y\to Z\) 连续 \(\Leftrightarrow\) \(g\circ f: X\to Z\) 连续; 2. \(Y\cong X/\sim\).
关于商映射的判断, 有如下两条常见的定理:
- 连续满射若同时是开映射或闭映射, 则是商映射;
- 紧空间到Hausdorff空间的连续满射是商映射.
拓扑锥与双角锥
- 拓扑锥: \(X\times I\) 上定义 \[(x,1)\sim (x',1),~\forall x,x'\in X;\] \[(x,t)\sim(x,t), ~\forall x,\forall t<1.\] 而成的商空间称为 \(X\) 的拓扑锥, 记作 \(CX\).
容易知道 \(C\mathbb{S}^{n-1}\cong B^n\).
- 双角锥: \(X\times[-1,1]\) 上定义 \[(x,1)\sim(x',1),~\forall x,x'\] \[(x,-1)\sim(x',-1),~\forall x,x'\] \[(x,t)\sim (x,t), \text{otherwise}.\]
容易知道 \(S\mathbb{S}^{n-1}\cong \mathbb{S}^n\).
拓扑群与轨道空间
拓扑群
- 拓扑群: 设 \(G\) 是一个Hausdorff空间, 同时也是一个群. 若 \(G\) 的乘法和求逆都连续, 则称 \(G\) 为拓扑群.
- 子群: 子空间+子群.
- 同态: 连续+同态. (同构=同胚+同构).
拓扑群的例子:
- 四元数空间 \(\mathbb{H}=\mathbb{C}^2\);
- 一般线性群 \(GL(n,\mathbb{R})\subset \mathbb{E}^{n^2}\).
- 正交群 \(O(n)\), \(SO(n)\) 和 酉群 \(U(n)\), \(SU(n)\).
拓扑群作用
- 拓扑群作用: 连续映射 \(\phi: G\times X\to X\), s.t.
- \(\phi(hg,x)=\phi(h,\phi(g,x))\), \(\forall g,h,x\);
- \(\phi(e,x)=x\), \(\forall x\)
可以简写为:
- \((hg)x=h(gx)\);
- \(ex=x\).
轨道空间
- 轨道: \(O(x)=\{gx~\vert~g\in G\}\), 显然轨道相交等价于轨道重合;
- 轨道空间: \(x\sim y: O(x)=O(y)\). 记作 \(X/G\).
- 可迁作用: \(\forall x,y\in X\), \(\exists g\in G\), s.t. \(gx=y\);
- 自由作用: \(\forall g\neq h\in G\), \(\forall x\in X\), \(gx\neq hx\).
- 迷向群: \(G_x=\{g\in G~\vert~gx=x\}\subset G\).
\(G\) 是自由作用当且仅当每点的迷向群是平凡群.
关于轨道空间的连通性有如下命题:
命题 设 \(G\) 是拓扑群, 作用于 \(X\) 上. 若 \(G\) 与 \(G/X\) 连通, 则 \(X\) 连通. 反证法: 取开集 \(X=A\cup B\), 则 \(U=\pi(A)\cap\pi(B)\) 非空, 取 \([p]\in U\), 考虑 \(O_p\) 的连通性即可得结论.
代数拓扑
映射与空间的同伦
映射的同伦
- 映射同伦: 设 \(X,Y\) 是拓扑空间, \(f,g:X\to Y\) 是连续映射, 则 \(f\) 到 \(g\) 的同伦是指连续映射 \[F: X\times I\to Y,~\text{s.t.}~F(x,0)=f(x),~F(x,1)=g(x).\] 此时称 \(f\) 与 \(g\) 同伦, 记作 \(f\underset{F}{\simeq} g\).
- 相对子集的同伦: 若对于 \(A\subset X\) 有 \[F(a,t)=f(a),~\forall a\in A,t\in I,\] 则称 \(f\) 与 \(g\) 相对于 \(A\) 同伦, 记作 \(f\underset{F}{\simeq} g, rel A\).
- 线性同伦: \(C\) 是 \(\mathbb{E}^n\) 中的凸集, 映射 \(f,g: X\to C\) 连续, 取 \[F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x),\] 则 \(f\underset{F}{\simeq} g\).
- 零伦: 同伦于常值映射的映射称为是零伦的. \(X\) 到 \(\mathbb{E}^n\) 中凸集的连续映射是零伦的.
- 环路: \(\alpha: I\to X\) 是一条道路, 且 \(\alpha(0)=\alpha(1)=p\), 则称 \(\alpha\) 是以 \(p\) 为基点的环路.
- 保基点同伦: \(\alpha\simeq \beta,~rel\{0,1\}\).
空间的同伦等价
- 同伦等价: 存在连续映射 \[f: X\to Y,\quad g:Y\to X,\] s.t. \[g\circ f\simeq id_X: X\to X,\quad f\circ g\simeq Y\to Y.\] 则称 \(X\) 与 \(Y\) 同伦等价, 记作 \(X\simeq Y\).
几个例子如下:
- \(\mathbb{E}^n-\{0\}\simeq\mathbb{S}^{n-1}\), \(f(x)=\frac{x}{\Vert x\Vert}\), \(g(x)=x\);
- \(CX\simeq \{p(锥顶)\}\), \(f(x)=p\), \(g(p)\) 为包含映射.
收缩
- 可缩空间: 与单点同伦等价的空间;
- 收缩核: \(A\subset X\), 若存在连续映射 \(r: X\to A\), s.t. \(r\vert_A=id_A\), 则称 \(A\) 是 \(X\) 的收缩核;
- 形变收缩: \(A\subset X\), \(i: A\to X\) 是包含映射, \(r\) 是 \(X\) 到 \(A\) 的收缩. 若 \(id_X\underset{F}{\simeq} i\circ r\), 则称 \(F\) 是 \(X\) 到 \(A\) 的形变收缩, \(A\) 是 \(X\) 的形变收缩核;
- 强形变收缩: 若 \(id_X\underset{F}{\simeq} i\circ r,~rel A\) 则称 \(A\) 是 \(X\) 的强形变收缩核.
命题 \(X\) 可缩 \(\Leftrightarrow\) \(X\) 可形变收缩到其中一点.
几个例子: 1. \(\mathbb{S}^1\) 是平环和Mobius带的强形变收缩核; 2. \(\mathbb{S}^{n-1}\) 是 \(\mathbb{E}^n-\{0\}\) 的强形变收缩核.
基本群
基本群
- 基本群: 拓扑空间上以 \(p\) 点为基点的环路的保基点同伦类关于同伦类的乘积构成一个群, 称为基本群 \(\pi_1(X,p)\). > 道路连通空间的基本群 若 \(X\) 道路连通, 则 \(\pi_1(X,p)\cong \pi_1(X,q)\), \(\forall p,q\).
基本群的不变性
设 \(f: X\to Y\) 连续, 且 \(f(p)=q\), 则 \(f\) 可以诱导映射 \[g: \pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q),~\langle\alpha\rangle\mapsto \langle f\circ\alpha\rangle.\] 且由 \[g\circ(\alpha\cdot\beta)=(f\circ\alpha)\cdot(f\circ\beta)\] 可知 \(g\) 是同态.
乘积空间的基本群
命题 若 \(X,Y\) 道路连通, 则 \[\pi_1(X\times Y,(x_0,y_0))\cong \pi_1(X,x_0)\times \pi_1(Y,y_0).\]
\(\mathbb{S}^n\) 的基本群
道路提升定理
道路提升 \(\alpha\) 是 \(\mathbb{S}^1\) 内以 \(1\) 为起点的道路, 则存在 \(\mathbb{E}^1\) 中唯一一条以 \(0\) 为起点的道路\(\tilde{\alpha}\), s.t. \(\pi\circ\tilde{\alpha}=\alpha\).
同伦提升定理
同伦提升 \(\alpha\), \(\beta\) 是 \(\mathbb{S}^1\) 中的两条道路, 且 \(\exists F:I\times I\to \mathbb{S}^1\), s.t. \(\alpha\underset{F}{\simeq}\beta\), 若 \(\alpha\) 有提升, 则 \(F\) 有唯一提升 \(\tilde{F}: I\times I\to\mathbb{E}^1\), s.t. \(\tilde{F}(0,0)=0\).
\(\mathbb{S}^n\) 的基本群
- \(\mathbb{S}^1\) 的基本群为 \(\mathbb{Z}\);
- \(\mathbb{S}^n~(n>2)\) 的基本群为平凡群.
基本群的应用
- 代数学基本定理: \(\mathbb{C}\) 上的 \(n\) 次多项式存在零点;
- Brouwer 不动点定理: \(\mathbb{B}^n\) 具有不动点性质(任意到自身的连续映射有不动点).
Van Kampen 定理
van kampen 设 \(X\) 可以写成非空开集 \(X_1\), \(X_2\) 的并集且 \(X_0=X_1\cap X_2\neq\varnothing\). 设 \(X\) 与 \(X_0\) 道路连通, 取 \(x_0\in X_0\), 则 \[\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X_1,x_0)*\pi_1(X_2,x_0)/\sim,\] 其中 \(\sim\) 是等价关系 \[\{i_{1*}(\alpha)=i_{2*}(\alpha)~\vert~\alpha\in\pi_1(X_0,x_0)\}~(i_k~是~X_0\to X_k~的包含映射).\]
两个特殊情形如下:
推论 1 若 \(X_0\) 单连通, 则 \[\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X_1,x_0)*\pi_1(X_2,x_0).\] 推论 2 若 \(X_2\) 单连通, 则 \[\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X_1,x_0)/\sim,\] 其中 \(\sim\) 为等价关系 \(\{i_{1*}(\alpha)=e~\vert~\alpha\in\pi_1(X_0,x_0)\}\).
闭曲面分类定理
- 曲面: 第二可数的Hausdorff空间 \(S\) 称为曲面当且仅当 \(\forall x\in S\), 存在 \(x\) 的邻域 \(U\), s.t. \(U\) 同胚于圆盘 \(D^2\) 或 半圆盘\(D^2_+\);
- 内部: 存在邻域同胚于圆盘的点称为内点, 内点的全体称为内部;
- 边界: 存在邻域同胚于半圆盘的点称为边界点, 边界点的全体称为边界.
- 闭曲面: 紧致无边界的曲面称为闭曲面.
关于曲面还有如下结论:
- 曲面间的同胚把内点映射到内点, 边界点映射到边界点;
- 同胚的曲面具有同胚的边界. (由上一条可得到)
如下定义曲面的可定向性:
- 不可定向曲面: 存在一个同胚于Mobius带的子空间. (否则称为可定向的)
闭曲面分类定理 \(\mathbb{S}^2\), \(nT^2~(n\in\mathbb{N})\), \(m\mathbb{P}^2~(m\in \mathbb{N})\) 是两两不同胚的闭曲面, 且所有的闭曲面都可以归为这三类. 进一步, 1. 可定向曲面必定同胚于 \(\mathbb{S}^2\) 或 \(nT^2~(n\in\mathbb{N})\); 2. 不可定向曲面必定同胚于 \(m\mathbb{P}^2~(m\in \mathbb{N})\).
复叠空间
复叠空间
- 复叠映射: 设 \(E,B\) 是道路连通且局部道路连通的空间, \(p: E\to B\) 是连续映射. 若对 \(\forall b\in B\), 存在 \(b\) 的开邻域 \(U\), s.t. \(p^{-1}(U)\) 是 \(E\) 中一族两两不交的开集 \(\{V_\alpha\}\) 的并集, 且 \(p\vert_{V_\alpha}: V_\alpha\to U\) 是同胚, 则称 \(p\) 是复叠映射.
- 复叠空间: \((E,p)\) 称为 \(B\) 上的复叠空间.
- 基本邻域: 上述定义中的 \(U\) 称为基本邻域. \(U\) 的逆像可以拆成若干与 \(U\) 同胚的集合的不交并.
- 纤维: \(b\in B\), 称 \(p^{-1}(b)\) 为 \(b\) 的纤维. 其基数称为复叠空间的重数/叶数.
简单来说, 复叠映射就是把一族同胚的不交开集映射到同一开集的映射, 原空间就称为复叠空间. 如果该映射是 \(n\) 对 \(1\) 的, 则该空间是 \(n\) 重的.
复叠空间上的道路提升与同伦提升
道路提升 若 \(\alpha\) 是以 \(b_0\in B\) 为起点的一条道路, \(e_0\in p^{-1}(b_0)\), 则存在 \(E\) 内唯一一条以 \(e_0\) 为起点的道路 \(\tilde{\alpha}\), s.t. \[\alpha=p\circ\tilde{\alpha}.\] 这说明 \(B\) 中以 \(b_0\) 为起点的道路与 \(E\) 中以 \(e_0\) 为起点的道路一一对应. 同伦提升 若 \(\alpha_1,\alpha_2\) 是 \(B\) 内两条道路, 且 \[\alpha_1\underset{F}{\simeq}\alpha_2.\] 设 \(\tilde{\alpha}_1\) 是 \(\alpha_1\) 的提升, 且 \(\tilde{\alpha}_1(0)=e_0\in E\), 则 \(F\) 有唯一提升 \[\tilde{F}: I\times I\to E,~\text{s.t.}~\tilde{F}(0,0)=e_0.\] 推论 若 \(\alpha_1,\alpha_2\) 是 \(B\) 内两条道路, 且 \[\alpha_1\simeq\alpha_2,~rel\{0,1\}.\] 设 \(\tilde{\alpha}_i\) 是 \(\alpha_i\) 的提升, 且 \(\tilde{\alpha_1}(0)=\tilde{\alpha_2}(0)\), 则 \[\alpha_1\simeq\alpha_2,~rel\{0,1\}.\] 这说明道路提升中产生的一一对应能够保持保端点同伦.
复叠空间的基本群
- 复叠映射 \(p\) 可诱导单同态 \(p_*: \pi_1(E,e_0)\to\pi_1(B,b_0)\), 且 \(p_*(\pi_1(E,e_0))\) 在 \(\pi_1(B,b_0)\) 中的指数等于 \((E,p)\) 的重数.
命题 集合 \(\{p_*(\pi_1(E,e))~\vert~e\in p^{-1}(b_0)\}\) 是 \(\pi_1(B,b_0)\) 的某个子群的共轭类. 这说明复叠空间 \((E,p)\) 决定了 \(\pi_1(B,b_0)\) 中的一个子群共轭类.
映射的提升
映射提升的唯一性 设 \((E,p)\) 是 \(B\) 上的复叠空间, \(X\) 连通, 映射 \(\tilde{f_i}: X\to E\), \(i=1,2\) 都是 \(f: X\to B\) 的提升. 若 \[\exists x_0\in X,~\text{s.t.}~\tilde{f}_1(x_0)=\tilde{f}_2(x_0),\] 则 \(\tilde{f}_1=\tilde{f}_2\). 这说明对于 \(f(x_0)=b_0\), 满足 \(\tilde{f}(x_0)=e_0\) 的提升若存在必唯一.
对于提升的存在性, 有如下定理:
映射提升定理 设 \(X\) 是道路连通且局部道路连通空间, \(f: X\to B\) 连续, \(f(x_0)=b_0\), \(e_0\in p^{-1}(b_0)\), 则: \[\exists~提升~\tilde{f},~\text{s.t.}~\tilde{f}(x_0)=e_0~\Leftrightarrow~f_*(\pi_1(X, x_0))\subset p_*(\pi_1(E,e_0)).\]
复叠空间的分类
- 复叠空间的同态: \((E_i, p_i)\), \(i=1,2\) 是 \(B\) 上的复叠空间, 若连续映射 \(h: E_1\to E_2\) 满足 \(p_2\circ h=p_1\), 则称 \(h\) 是复叠空间 \((E_1,p_1)\to (E_2,p_2)\) 的同态. 当 \(h\) 是同胚时, 则称 \(h\) 是同构.
定理 \((E_1,p_1)\) 与 \((E_2,p_2)\) 等价 \(\Leftrightarrow\) 它们决定 \(\pi_1(B,b_0)\) 的同一个子群共轭类.
复叠变换
- 复叠变换: \((E,p)\) 上的自同构;
- 复叠变换群: \((E,p)\) 上自同构全体关于映射的复合构成一个群, 记作 \(D(E,p)\).
正则复叠空间
以下命题等价:
- \((E,p)\) 是正则复叠空间;
- \(\forall b\in B\), \(e\in p^{-1}(b)\), \(p_*(\pi_1(E,e))\) 是 \(\pi_1(B,p(e))\) 的正规子群;
- \(\forall b\in B\), \(e,e'\in p^{-1}(b)\), \(p_*(\pi_1(E,e))=p_*(\pi_1(E,e'))\);
- \(\forall b\in B\), \(e,e'\in p^{-1}(b)\), \(\exists h\in D(E,p)\), s.t. \(h(e)=e'\).
万有复叠空间
- 万有复叠空间: 单连通的复叠空间.(显然正则)
命题 设 \(p:E\to B\) 是复叠空间, \(p': E'\to B\) 是万有复叠空间, 则有复叠映射 \(\tilde{p}: E'\to E\), s.t. \(p'=p\circ\tilde{p}\).