期末复习（预习）泛函时写的一些无聊的文字，以定义、定理为主（
度量空间
基础知识
压缩映像原理
Banach 设 \((\mathscr{X},\rho)\) 是一个完备度量空间, \(T\) 是 \(\mathscr{X}\) 到自身的一个压缩映射, 则 \(T\) 在 \(\mathscr{X}\) 上存在唯一的不动点.
完备化
完备化空间: 包含 \(\mathscr{X}\) 的最小完备度量空间. 关于其存在性有如下定理:
定理 每个度量空间都有一个自身在其中稠的完备化空间.
有界性与列紧性
定理 列紧空间的任意子集都是列紧集. 进一步, 任意闭子集都是自列紧的. 定理 列紧空间必定完备. 反之不成立, 如 \(\mathbb{R}\).
- 完全有界和列紧
定理 列紧集一定完全有界, 完全有界集必定有界. 定理 有穷维 \(B^*\) 空间的有界集必定完全有界, 完备空间中的完全有界集必定列紧.
\(\mathscr{X}\) 中的列紧集、完全有界集、有界集三者的关系如下: \[列紧~\underset{\mathscr{X}~完备}{\rightleftarrows}~完全有界~\underset{有限维B^*}{\rightleftarrows}~有界\]
一致有界和等度连续
一致有界: 设 \(F\subset C(M)\), 若 \(\exists M_1>0\), s.t. \(\vert\varphi(x)\vert\leqslant M~(\forall x\in M,\forall \varphi\in F)\), 则称 \(F\) 一致有界.
等度连续: 设 \(F\subset C(M)\), 若对 \(\forall \epsilon>0\), \(\exists\delta(\epsilon)>0\), s.t. \(\vert\varphi(x_1)-\varphi(x_2)\vert< \epsilon~(\forall x_1,x_2\in M, \rho(x_1,x_2)<\delta,\forall\varphi\in F)\), 则称 \(F\) 等度连续.
关于等度连续, 有如下的Arzela-Ascoli定理:
A-A \(F\subset C(M)\) 列紧 \(\Leftrightarrow\) \(F\) 一致有界且等度连续.
准范数与Frechet空间
准范数
线性空间 \(\mathscr{X}\) 上的准范数定义为这个空间上的一个函数 \(\Vert\cdot\Vert:\mathscr{X}\to\mathbb{R}^1\), s.t.
- \(\Vert x \Vert\geqslant 0\), \(\forall x\in\mathscr{X}\); \(\Vert x\Vert=0\Leftrightarrow x=\theta\);
- \(\Vert x+y\Vert\leqslant \Vert x\Vert+\Vert y\Vert\), \(\forall x,y\in\mathscr{X}\);
- \(\Vert -x\Vert=\Vert x\Vert\), \(\forall x\in\mathscr{X}\);
- \(\lim\limits_{\alpha_n\to 0}\Vert\alpha_n x\Vert=0\), \(\lim\limits_{\Vert x_n\Vert\to 0}\Vert\alpha x_n\Vert=0\), \(\forall x\in\mathscr{X}\), \(\forall\alpha\in\mathbb{K}\).
Frechet空间
用准范数 \(\Vert x_n-x\Vert\to 0\) 来定义极限 \(x_n\to x\) 的线性空间 \(\mathscr{X}\), 称为 \(F^*\) 空间. 完备的 \(F^*\) 空间称为Frechet空间.
范数与Banach空间
范数
线性空间 \(\mathscr{X}\) 上的范数 \(\Vert\cdot\Vert\) 是一个非负值函数: \(\mathscr{X}\to\mathbb{R}^1\), s.t. 1. \(\Vert x\Vert\geqslant 0\), \(\forall x\in\mathscr{X}\), 且 \(\Vert x\Vert=0\Leftrightarrow x=\theta\); 2. \(\Vert x+y\Vert\leqslant \Vert x \Vert+ \Vert y\Vert\), \(\forall x,y\in\mathscr{X}\); 3. \(\Vert\alpha x\Vert=\vert\alpha\vert\Vert x\Vert\), \(\forall\alpha\in\mathbb{K}\), \(\forall x\in\mathscr{X}\).
Banach空间
具有范数的 \(F^*\) 空间称为 \(B^*\) 空间, 完备的 \(B^*\) 空间称为Banach空间.
范数的等价
范数 \(\Vert\cdot\Vert_1\) 与 \(\Vert\cdot\Vert_2\) 等价是指: \(\Vert x_n\Vert_1\Leftrightarrow \Vert x_n\Vert_2\), \(n\to\infty\). 即: \(\exists C_1,C_2<0\), s.t. \(C_1\Vert x\Vert_1\leqslant\Vert x\Vert_2\leqslant C_2\Vert x\Vert_1\), \(\forall x\in\mathscr{X}\).
定理 有穷维 \(B^*\) 空间的任意范数都等价.
推论 相同维数的有穷维 \(B^*\) 空间代数上同构, 拓扑上同胚.
推论 有穷维 \(B^*\) 空间必定完备, 反之不成立.
半模
半模是 \(P:\mathscr{X}\to\mathbb{R}^1\) 是线性空间 \(\mathscr{X}\) 上的一个函数, s.t.
- \(P(x)\geqslant 0\), \(\forall x\in\mathscr{X}\); 注意没有要求 \(P(x)=0\Leftrightarrow x=\theta\);
- \(P(x+y)\leqslant P(x)+P(y)\), \(\forall x,y\in\mathscr{X}\);
- \(P(\alpha x)=\vert\alpha\vert P(x)\), \(\forall\alpha\in\mathbb{K}\), \(\forall x\in\mathscr{X}\).
有穷维 \(B^*\) 空间
定理 \(B^*\) 空间是有穷维的当且仅当其单位球面是列紧的.
推论 \(B^*\) 空间是有穷维的当且仅当其任意有界集是列紧的.
还有如下的Riesz引理:
Riesz 引理 如果 \(\mathscr{X}_0\) 是 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 的一个真闭子空间, 那么对于 \(\forall 0<\epsilon<1\), \(\exists y\in\mathscr{X}\), s.t. \(\Vert y\Vert=1\), 且 \(\Vert y-x\Vert\geqslant1-\epsilon\), \(\forall x\in\mathscr{X}_0\).
凸集与Minkowski泛函
凸集和凸包
凸集: \(E\) 是凸集 \(\Leftrightarrow\) \(\lambda x+(1-\lambda)y\in E\), \(\forall x,y\in E\), \(\forall 0\leqslant\lambda\leqslant 1\).
凸包: \[co(A)=\{\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i x_i ~\vert~ \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i=1, \lambda_i\geqslant 0, x_i\in A, i=1,2,\cdots,n, \forall n\in\mathbb{N}\}\]为包含 \(A\) 的最小凸集.
Minkowski泛函
\(\mathscr{X}\) 是线性空间, \(C\) 是 \(\mathscr{X}\) 上含有 \(\theta\) 的凸子集, 则如下定义Minkowski泛函:
\[P(x)=\inf\{\lambda>0 ~\vert~ \frac{x}{\lambda}\in C\},\quad \forall x\in\mathscr{X}.\]
内积与Hilbert空间
共轭双线性函数
线性空间 \(\mathscr{X}\) 上的双线性函数是指一个二元函数 \(a(\cdot,~\cdot):\mathscr{X}\times\mathscr{X}\to\mathbb{K}\), s.t.
- \(a(a_1x_1+a_2x_2,y)=a_1a(x_1,y)+a_2a(x_2,y)\);
- \(a(x,b_1y_1+b_2y_2)=\overline{b_1}a(x,y_1)+\overline{b_2}a(x,y_2)\).
内积
\(\mathscr{X}\) 上的共轭双线性函数 \((\cdot,~\cdot)\) 称为一个内积, 如果满足:
- \((x,y)=\overline{(y,x)}\);
- \((x,x)\geqslant 0\), \(\forall x\in\mathscr{X}\), 且 \((x,x)=0\Leftrightarrow x=\theta\).
- 若去掉 \((x,x)=0\Leftrightarrow x=\theta\) 的要求, 则称为半内积.
- 定义了内积的空间称为内积空间, 完备的内积空间称为Hilbert空间.
Cauchy-Schwarz 不等式
C-S 设 \((\mathscr{X},(\cdot,~\cdot))\) 是内积空间, 取 \(\Vert x\Vert=(x,x)^\frac{1}{2}\), \(\forall x\in\mathscr{X}\), 则有 \[\vert (x,y)\vert\leqslant \Vert x\Vert\Vert y\Vert, \quad \forall x,y\in\mathscr{X}.\]等号当且仅当 \(x=\lambda y\) 取得.
内积空间与 \(B^*\) 空间
- 内积空间 \(\to\) \(B^*\) 空间
内积空间 \(\mathscr{X}\) 按照 \(\Vert x\Vert=(x,x)^\frac{1}{2}\) 定义范数, 是严格凸的 \(B^*\) 空间, 且内积关于范数连续.
- \(B^*\) 空间 \(\to\) 内积空间
在 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 中, 为了引入内积满足上式, 范数必须满足 \[\Vert x+y\Vert^2+\Vert x-y\Vert^2=2\Vert x\Vert^2+2\Vert y\Vert^2,\quad \forall x,y\in\mathscr{X}.\]
正交集
- 完备正交集: \(S\) 为正交集, 且 \(S^\perp=\{\theta\}\).
- Bessel 不等式
Bessel设 \(\mathscr{X}\) 是一个内积空间, 若 \(S=\{e_\alpha~\vert~\alpha\in A\}\) 是其中的正交规范基, 那么 \(\forall x\in\mathscr{X}\), 有 \[\sum\limits_{\alpha\in A}|(x,e_\alpha)|^2\leqslant \Vert x\Vert^2.\] 事实上, \(\{\alpha\in A: (x,e_\alpha)\neq 0\}\) 至多可数.
- Parseval 等式
Parseval 设 \(\mathscr{X}\) 是一个Hilbert空间, \(S\) 是正交规范基, 则 \[S完备\Leftrightarrow \Vert x\Vert^2=\sum\limits_{\alpha\in A}|(x,e_\alpha)|^2,\quad \forall x\in\mathscr{X}.\]
- 正交分解
定理 设 \(M\) 是Hilbert空间上的一个闭子空间, 则 \(\forall x\in\mathscr{X}\) 存在唯一的正交分解: \[x=y+z\quad (y\in M, z\in M^\perp).\]
线性算子与线性泛函
Riesz定理
Riesz定理
定理 设 \(f\) 是Hilbert空间 \(\mathscr{X}\) 上的一个连续线性泛函, 则存在唯一的 \(y_f\in\mathscr{X}\), s.t. \(f(x)=(x,y_f)\), \(\forall x\in\mathscr{X}\).
该定理直接说明了: 若 \(\mathscr{X}\) 是Hilbert空间, 则 \(\mathscr{X}=\mathscr{X}^*\).
开映像定理
Baire纲定理
Baire 完备度量空间 \((\mathscr{X},\rho)\) 是第二纲集.
开映像定理
定理 设 \(\mathscr{X},\mathscr{Y}\) 都是 \(B\) 空间, 若 \(T\in\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})\) 是一个满射, 则 \(T\) 是开映射.
闭图像定理
Bounded Linear Transform
B.I.T 设 \(T\) 是 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 到 \(B\) 空间 \(\mathscr{Y}\) 的连续线性算子, 那么 \(T\) 能唯一地延拓到 \(\overline{D(T)}\) 上称为连续线性算子 \(T_1\), s.t. \(T_1\vert_{D(T)}=T\), 且 \(\Vert T_1\Vert=\Vert T\Vert\).
命题 \(T\) 是闭算子 \(\Leftrightarrow\) \(G_T\) 按照图模 (\(\Vert x\Vert_G=\Vert x\Vert+\Vert Tx\Vert\)) 是闭集.
范数等价定理
定理 设线性空间 \(\mathscr{X}\) 有范数 \(\Vert\cdot\Vert_1\) 和 \(\Vert\cdot\Vert_2\). 若 \(\mathscr{X}\) 关于二者都构成 \(B\) 空间, 且 \(\Vert\cdot\Vert_1\) 比 \(\Vert\cdot\Vert_2\) 强, 则二者等价.
闭图像定理
定理 设 \(\mathscr{X},\mathscr{Y}\) 是 \(B\) 空间. 若 \(T\) 是 \(D(T)\to\mathscr{Y}\) 的闭线性算子, 且 \(D(T)\) 闭, 则 \(T\) 连续.
共鸣定理
共鸣定理
定理 设 \(\mathscr{X}\) 是 \(B\) 空间, \(\mathscr{Y}\) 是 \(B^*\) 空间, 如果 \(W\subset\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})\), s.t. \(\sup\limits_{A\in W}\Vert Ax\Vert<\infty~~(\forall x\in\mathscr{X})\), 那么存在常数 \(M\), s.t. \(\Vert A\Vert\leqslant M\), \(\forall A\in W\).
立刻有如下推论:
推论 设 \(\mathscr{X}\) 是Banach空间, \(A\subset\mathscr{X}^*\), 则 \(A\) 有界 \(\Leftrightarrow\) \(\forall x\in\mathscr{X}\), \(\sup\limits_{f\in A}\vert f(x)\vert<\infty\).
Banach-Steinhaus定理
B-S 设 \(\mathscr{X}\) 是 \(B\) 空间, \(\mathscr{Y}^*\) 是 \(B^*\) 空间, \(M\) 是 \(\mathscr{X}\) 的稠子集. 取 \(A_n~(n=1,2,\cdots)\in\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})\), 则 \(\lim\limits_{n\to\infty}A_n x=Ax~(\forall x)\) 当且仅当: 1. \(\Vert A_n\Vert\) 有界; 2. 对于 \(\forall x\in M\), 有 \(\lim\limits_{n\to\infty}A_n x=Ax\).
该定理实际上说明了算子列的收敛性和有界性很大程度上决定于其在一个稠子集上的情况.
Lax-Milgram定理
L-M 设 \(a(x,y)\) 是Hilbert空间 \(\mathscr{X}\) 上的一个共轭双线性函数, s.t. 1. \(\exists M>0\), s.t. \(\vert a(x,y)\vert\leqslant M\Vert x\Vert\Vert y\Vert~~(\forall x,y\in\mathscr{X})\); 2. \(\exists\delta>0\), s.t. \(\vert a(x,y)\vert\geqslant\delta\Vert x\Vert^2~~(\forall x\in\mathscr{X})\).
则存在唯一的有连续逆的线性算子 \(A\in\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})\), s.t. \(a(x,y)=(x,Ay)\), \(\forall x,y\in\mathscr{X}\), 且 \(\Vert A^{-1}\Vert\leqslant\frac{1}{\delta^2}\).
Hahn-Banach定理
实Hahn-Banach定理
定理 设 \(\mathscr{X}\) 是实线性空间, \(p\) 是定义在 \(\mathscr{X}\) 上的次线性泛函, \(\mathscr{X}_0\) 是 \(\mathscr{X}\) 的实线性子空间, \(f_0\) 是 \(\mathscr{X}_0\) 上的实线性泛函并满足 \(f_0(x)\leqslant p(x)~(\forall x\in\mathscr{X}_0)\). 则 \(\mathscr{X}\) 上存在(未必唯一)一个实线性泛函 \(f\), s.t. 1. \(f(x)\leqslant p(x)~(\forall x\in\mathscr{X})\); 2. \(f(x)=f_0(x)~(\forall x\in\mathscr{X}_0)\).
复Hahn-Banach定理
定理 设 \(\mathscr{X}\) 是复线性空间, \(p\) 是定义在 \(\mathscr{X}\) 上的半模, \(\mathscr{X}_0\) 是 \(\mathscr{X}\) 的线性子空间, \(f_0\) 是 \(\mathscr{X}_0\) 上的线性泛函并满足 \(|f_0(x)|\leqslant p(x)~(\forall x\in\mathscr{X}_0)\). 则 \(\mathscr{X}\) 上存在(未必唯一)一个线性泛函 \(f\), s.t. 1. \(|f(x)|\leqslant p(x)~(\forall x\in\mathscr{X})\); 2. \(f(x)=f_0(x)~(\forall x\in\mathscr{X}_0)\).
Hahn-Banach定理
定理 设 \(\mathscr{X}\) 是 \(B^*\) 空间, \(\mathscr{X}_0\) 是 \(\mathscr{X}\) 的线性子空间, \(f_0\) 是定义在 \(\mathscr{X}_0\) 上的有界线性泛函, 则在 \(\mathscr{X}\) 上存在有界线性泛函 \(f\), s.t. 1. \(f(x)=f_0(x)~(\forall x\in\mathscr{X})\) (在 \(\mathscr{X}_0\) 不变); 2. \(\Vert f\Vert=\Vert f_0\Vert_0\) (保范).
由此可以立刻得到推论
推论 1 在 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 上, \(\forall x_1,x_2\in\mathscr{X}\), \(\exists f\in\mathscr{X}^*\), s.t. \(f(x_1)=f(x_2)\). 推论 2 设 \(\mathscr{X}\) 是 \(B^*\) 空间, \(\forall x_0\in\mathscr{X}\backslash\{\theta\}\), \(\exists f\in\mathscr{X}\), s.t. \(f(x_0)=\Vert x_0\Vert\), 且 \(\Vert f\Vert=1\).
对于 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 的子空间 \(M\), 有如下结论:
定理 设 \(\mathscr{X}\) 是 \(B^*\) 空间, \(M\) 是其线性子空间. 若 \(x_0\in\mathscr{X}\), 且 \(d:=\rho(x_0,M)>0\), 则 \(\exists f\in\mathscr{X}^*\), s.t. 1. \(f(x)=0~~(\forall x\in M)\); 2. \(f(x_0)=d\); 3. \(\Vert f\Vert=1\).
Hahn-Banach定理的几何形式
考虑 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 中的一个包含 \(\theta\) 的真凸子集 \(E\) 及 \(E\) 外的一点 \(x_0\), 考虑 \(E\) 的Minkowski泛函 \(p(x)\), 则 \(p\) 是 \(\mathscr{X}\) 上的非零连续次线性泛函.
此时考虑Hahn-Banach定理的应用条件, 取子空间 \[\mathscr{X}_0=\{\lambda x_0~\vert~\lambda\in\mathbb{R}^1\}\] 及其上的线性泛函 \(f_0(\lambda x_0)=\lambda p(x_0)\). 则有 \(f_0(x)\leqslant p(x)\).
至此, Hahn-Banach定理的条件已经全部满足. 于是存在实线性泛函 \(f\), s.t. \(f(x)\leqslant p(x)~(\forall x\in\mathscr{X})\), 且 \(f(x)=f_0(x)~(\forall x\in\mathscr{X}_0)\). 又由 \(f_0\) 定义可知 \(f(x_0)\geqslant 0\), 以及 \(f(x)\leqslant 1~(\forall x\in E)\), 故 \(H_f^1\) 分离 \(x_0\) 与 \(E\).
即如下的几何形式的Hahn-Banach定理:
定理 设 \(E\) 是实 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 上以 \(\theta\) 为内点的真凸子集, 又设 \(x_0\overline{\in}E\), 则必定存在一个超平面 \(H_f^r\) 分离 \(x_0\) 与 \(E\).
由此可得到如下定理:
定理 设 \(E_1\) 和 \(E_2\) 是 \(B^*\) 空间中互不相交的非空凸集, 且 \(E_1\) 有内点, 那么 \(\exists s\in\mathbb{R}^1\) 以及非零线性连续泛函 \(f\), s.t. 超平面 \(H_f^s\) 分离 \(E_1\) 和 \(E_2\). 换言之, 存在非零连续线性泛函 \(f\), s.t. \(f(x)\leqslant s~(\forall x\in E_1)\) 且 \(f(x)\geqslant s~(\forall x\in E_2)\).
进而有如下两条定理:
- Ascoli定理
Ascoli 设 \(E\) 是实 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 中的闭凸集, 则 \(\forall x_0\in\mathscr{X}\backslash E\), \(\exists f\in\mathscr{X}^*\) 及 \(a\in\mathbb{R}^1\), s.t. \(f(x)<a<f(x_0)\), \(\forall x\in E\).
- Mazur定理
Mazur 设 \(E\) 是 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 上的一个有内点的闭凸集, \(F\) 是 \(\mathscr{X}\) 上的一个线性流形, 又设 \(E\cap F=\varnothing\), 则存在一个包含 \(F\) 的闭超平面 \(L\), s.t. \(E\) 在 \(L\) 的一侧.
共轭空间
- 设 \(\mathscr{X}\) 是一个 \(B^*\) 空间, \(\mathscr{X}\) 上的所有连续限行泛函全体 \(\mathscr{X}^*\) 按照范数 \(\Vert f\Vert=\sup\limits_{\Vert x\Vert=1} \vert f(x)\vert\) 构成一个 \(B\) 空间, 称为 \(\mathscr{X}\) 的共轭空间.
定理 有 \((L^p[0,1])^*=L^q[0,1]\), \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1~(1\leqslant p<\infty)\).
值得注意的是, \((L^\infty[0,1])^*\neq L^1[0,1]\).
第二共轭空间与自反空间
\(\mathscr{X}^*\) 的共轭空间 \(\mathscr{X}^{**}\) 称为 \(\mathscr{X}\) 的第二共轭空间.
自然映射: 对于 \(\forall x\in\mathscr{X}\), 考虑 \(X(f)=f(x)~(\forall f\in\mathscr{X}^*)\), 则 \(X\) 是 \(\mathscr{X}^*\) 上的线性泛函, 且满足 \(\vert X(f)\vert\leqslant \Vert f\Vert\Vert x\Vert\). 因此 \(X\) 是连续的, 满足 \(\Vert X\Vert \leqslant \Vert x\Vert\).
称上文中的映射 \(T:x\mapsto X\) 为自然映射. 容易验证 \(T\) 是一个等距嵌入, 于是有如下定理
定理 \(B^*\) 空间 \(\mathscr{X}\) 与它的第二共轭空间 \(\mathscr{X}^{**}\) 的一个子空间等距同构, 即 \(\mathscr{X}\subset\mathscr{X}^{**}\).
自反空间: 若自然映射 \(T\) 是满射, 则称 \(\mathscr{X}\) 是自反的. 即 \(\mathscr{X}=\mathscr{X}^{**}\)
关于自反空间, 有如下定理:
定理 有限维 \(B^*\) 空间是自反的. 特别地, \(L^p~(1<p<\infty)\) 是自反的.
弱收敛
弱收敛: 设 \(\mathscr{X}\) 是一个 \(B^*\) 空间, \(\{x_n\}\subset\mathscr{X}\), \(x\in\mathscr{X}\). 若对于 \(\forall f\in\mathscr{X}^*\), 均有 \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)\), 则称 \(\{x_n\}\) 弱收敛于 \(x\), 记作 \(x_n\rightharpoonup x\).
容易得到弱收敛和强收敛有如下关系:
- 强收敛蕴含弱收敛, 反之不成立(尽管对于 \(\mathbb{R}\) 成立);
- 当强极限存在时, 强弱收敛等价, 且极限唯一;
- 弱极限若存在必定唯一(利用Hahn-Banach定理可证).
简单概括如下:
\[强收敛 \underset{在 \mathbb{R} 上}{\rightleftarrows}~弱收敛\quad\quad 强极限\underset{强极限存在}{\rightleftarrows}~弱极限\]
在 \(B^*\) 空间上, 有如下的Mazur定理:
Mazur 设 \(\mathscr{X}\) 是一个 \(B^*\) 空间, 且 \(x_n\rightharpoonup x_0\)(注意是弱收敛), 则 \(\forall\epsilon>0\), \(\exists \lambda_i>0~(i=1,2,\cdots,n)\), \(\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=1\) s.t. \[\Vert x_0-\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i x_i\Vert\leqslant \epsilon.\]
\(*\) 弱收敛
\(*\) 弱收敛: 设 \(\mathscr{X}\) 是 \(B^*\) 空间, \(\{f_n\}\subset\mathscr{X}^*\), \(f\in\mathscr{X}^*\). 若 \(\forall x\in\mathscr{X}\), 都有 \(\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\), 则称 \(f_n~*\) 弱收敛于 \(f\), 记作 \(w^*-\lim\limits_{n\to\infty}f_n=f\).
\(\mathscr{X}^*\) 上的弱收敛: 设 \(\{f_n\}\subset\mathscr{X}^*\), \(f\in\mathscr{X}^*\). 若对 \(\forall X\in\mathscr{X}^{**}\), 都有 \(X(f_n)\to X(f)\), 则称 \(f_n\) 弱收敛于 \(f\).
可以证明, \(\mathscr{X}^*\) 上的弱收敛 \(\Rightarrow~*\) 弱收敛. 特别地, 当 \(\mathscr{X}\) 是一个自反空间时, 二者等价.
弱列紧与 \(*\) 弱列紧性
对于 \(*\) 弱列紧性, 有如下的定理:
定理: 可分的 \(B^*\) 空间中的有界列必定有 \(*\) 弱列紧的子列.
进一步还有如下的定理:
- Banach定理:
Banach 若 \(\mathscr{X}\) 是 \(B^*\) 空间, 则 \(\mathscr{X}\) 可分 \(\Rightarrow\) \(\mathscr{X}^*\) 可分.
- Pettis定理:
Pettis 自反空间 \(\mathscr{X}\) 的自反空间 \(\mathscr{X}_0\) 也是自反的.
附录
几种范数
范数: 正定性(\(\Vert x\Vert=0\Leftrightarrow x=\theta\))+三角不等式+齐次性.
- 准范数: 与范数差齐次性;
- 半范数: 与范数差 \(\Vert x\Vert=0\Leftrightarrow x=\theta\).
几种收敛
\(\mathscr{X}\) 的收敛
- 弱收敛: \(\forall f\in\mathscr{X}^*\), \(f(x_n)\to f(x)\), 记作 \(x_n\rightharpoonup x\);
- 强收敛: \(\Vert x_n-x\Vert\to 0\), 记作 \(x_n\to x\).
\(\mathscr{X}^*\) 的收敛
- 一致收敛: \(\Vert f_n-f\Vert\to 0\), 记作 \(f_n\rightrightarrows f\);
- 强收敛: \(\Vert (f_n-f)x\Vert\to 0~(\forall x\in\mathscr{X})\), 记作 \(f_n\to f\);
- 弱收敛: \(X(f_n)\to X(f)~(\forall X\in\mathscr{X}^{**})\), 记作 \(f_n\rightharpoonup f\);
- \(*\)弱收敛: \(\forall x\in\mathscr{X}\), 有 \(f_n(x)\to f(x)\), 记作 \(w^*-\lim\limits_{n\to\infty}f_n=f\);
- 以上极限若存在必唯一.
几种Banach空间
- \(\mathbb{C}^n\) 按照范数 \(\Vert x\Vert=(\sum\limits_{i=1}^n\vert x_i\vert^2)^{\frac{1}{2}}\) 构成一个Banach空间;
- \(C(M)\) (\(M\) 是一个紧度量空间) 按照范数 \(\Vert f\Vert=\max\limits_{x\in M}\vert f(x)\vert\) 构成一个Banach空间;
- \(L^p(\Omega,\mu)\) 按照范数 \(\Vert f\Vert=\left(\int\nolimits_\Omega \vert f(x)\vert^p{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}\) 构成Banach空间.