基础定义
有界集: 设 \((\mathscr{X},\rho)\) 为度量空间, \(A\subset\mathscr{X}\)，如果 \(\exists M<\infty\), s.t. \(\forall x,y\in A\), 总有 \(\rho(x,y)\leqslant M\), 则称 \(A\) 为有界集.
完全有界: 集合 \(M\) 称为完全有界的, 如果 \(\forall\epsilon\), 存在 \(M\) 的一个有穷 \(\epsilon\) 网.
紧集: 在拓扑空间 \(\mathscr{X}\) 中, 集合 \(M\) 称为紧集, 如果 \(\mathscr{X}\) 中每个覆盖 \(M\) 的开集族中都有有限个开集覆盖 \(M\).
有界与完全有界
命题 1 在度量空间 \((\mathscr{X},\rho)\) 中, 完全有界集的子集也是完全有界的.
证明: 设 \(M\) 为 \(\mathscr{X}\) 中的完全有界集, \(S\subset M\), 下证 \(S\) 完全有界: \(\forall\epsilon>0\), 由 \(M\) 的完全有界性可知, \(\exists N_0\in\mathbb{N}\) 及 \(\{x_n\}_{n=1}^{N_0}\subset M\), s.t. \(S\subset M\subset\bigcup\limits_{N=1}^{N_0}B(x_n,\frac{\epsilon}{2})\). 令 \(I_s=\{i:B(x_i,\frac{\epsilon}{2})\cap S\neq\varnothing\}\), 显然 \(I_s\) 为有限集. 进一步, 对 \(\forall i\in I_s\), 取 \(y_i\in S\cap B(x_i,\frac{\epsilon}{2})\), 易有 \(B(x_i,\frac{\epsilon}{2})\subset B(y_i,\epsilon)\). 由此及 \(I_s\) 的定义可知 \(S\subset\bigcup\limits_{i\in I_s}B(x_i,\frac{\epsilon}{2})\subset\bigcup\limits_{i\in I_s}B(y_i,\epsilon)\), 即 \(S\) 完全有界.
命题 2 在有限维 \(B^*\) 空间中, 有界集 \(\Leftrightarrow\) 完全有界集.
证明: “\(\Leftarrow\)” 是显然的, 以下证明 “\(\Rightarrow\)”. 由于 \(\mathscr{X}\) 为有限维空间, \(M\) 有界, 以及 课本P37, Col1.4.30 可知 \(M\) 列紧. 再由 Th1.3.7 知 \(M\) 完全有界. 综上, 有界 \(\Leftrightarrow\) 完全有界.
紧集与完全有界闭集
命题 3 在 \(B^*\) 空间中, 紧集一定是完全有界闭集, 反之不一定成立.
证明: 由Th1.3.11, 在 \(B^*\) 空间中, \(A\) 为紧集当且仅当 \(A\) 是自列紧集. 从而 \(A\) 是闭的, 再由 Th1.3.7 知 \(A\) 完全有界.
即: 紧 \(\Rightarrow\) 完全有界 \(+\) 闭 在 \(B^*\) 空间中成立.
但反之不成立, 反例如下: \[x_n(t)=\begin{cases} 1, &t\in [a,\frac{a+b}{2}-\frac{1}{n});\\ n(\frac{a+b}{2}-x), &t\in [\frac{a+b}{2}-\frac{1}{n},\frac{a+b}{2}+\frac{1}{n});\\ -1, &t\in [\frac{a+b}{2}+\frac{1}{n},b]. \end{cases}\] \[x_n(t)=\begin{cases} 1, &t\in [a,\frac{a+b}{2});\\ 0, &t=\frac{a+b}{2};\\ -1, &t\in (\frac{a+b}{2},b]. \end{cases}\] 记 \(\mathscr{X}=(C[a,b],\Vert\cdot\Vert_{L^1})\), 并记 \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset C[a,b]\), 如下构造: 易证 \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) 依 \(\Vert\cdot\Vert_{L^1}\) 有极限 \(x\), 且 \(x\notin C[a,b]\). 考虑到 \(x\in L^1[a,b]\), 故 \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) 为 \(L^1[a,b]\) 中的列紧集, 从而由 Th1.3.7, \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) 为 \(L^1[a,b]\) 中的完全有界集. 故 \(\forall\epsilon>0\), \(\exists N\in\mathbb{N}\) 以及 \(\{f_k\}_{k=1}^N\subset L^1[a,b]\), s.t. \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\bigcup\limits_{k=1}^NB(f_k,\frac{\epsilon}{2})\). 不妨设 \(B(f_k,\frac{\epsilon}{2})\cap\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\neq\varnothing\)(否则去掉 \(B(f_k,\frac{\epsilon}{2})\) 即可). 对 \(\forall k\in\{1,2,\cdots,N\}\), 取 \(g_k\in\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cap B(f_k,\frac{\epsilon}{2})\), 则 \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\bigcup\limits_{k=1}^NB(f_k,\frac{\epsilon}{2})\subset\bigcup\limits_{k=1}^NB(g_k,\epsilon)\). 从而 \(\{g_k\}_{k=1}^N\) 为 \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) 的有穷 \(\epsilon\) 网. 故 \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) 为 \(\mathscr{X}\) 的完全有界集. 又由于 \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) 在 \(\mathscr{X}\) 中闭, 故 \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) 为 \(\mathscr{X}\) 中的完全有界集, 但不紧.
但在完备空间: Banach空间中有更强的结论.
命题 3 在Banach空间中, 紧集 \(\Leftrightarrow\) 完全有界集.
证明: 上文中已证紧集 \(\Rightarrow\) 完全有界闭集. 又由 \(B\) 空间中, 完全有界集必定列紧. 从而完全有界集必定是自列紧的. 从而由 Th1.3.11 可知该集合必定是紧集. 综上, Banach空间中的集合是紧集, 当且仅当它是完全有界闭集.