测度与概率胡乱复习

期末复习（预习）测度与概率时写的一些无聊的文字，以定义、定理为主.

测度空间

各种集类

半集代数

$\Omega\in\mathscr{S}$, $\varnothing\in\mathscr{S}$;
若 $A,B\in\mathscr{S}$, 则 $A\cap B\in\mathscr{S}$;
若 $A,A_1\in\mathscr{S}$, $A_1\subset A$, 则 $\exists A_2,\cdots,A_n\subset\mathscr{S}$, $A_1,\cdots,A_n$ 两两不交, 且 $A=\bigcup\limits_{k=1}^nA_k$.

集代数

$\Omega\in\mathscr{A}$;
若 $A,B\in\mathscr{A}$, 则 $A\cap B, A\cup B\in\mathscr{A}$;
若 $A\in\mathscr{A}$, 则 $A^c\in\mathscr{A}$.

包含半集代数 $\mathscr{S}$ 的最小集代数为 $\mathscr{A}(\mathscr{S})=\{\bigcup\limits_{k=1}^n A_k:A_1,\cdots,A_n\in\mathscr{S}\}$.

$\sigma$ 代数

$\Omega\in\mathcal{F}$;
若 $A\in\mathcal{F}$, 则 $A^c\in\mathcal{F}$;
若 $A_n\in\mathcal{F}~(n\in\mathbb{N})$, 则 $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}$.

任意一族 $\sigma$ 代数的交仍然是 $\sigma$ 代数;
所有包含 $\mathcal{C}$ 的 $\sigma$ 代数的交称为包含 $\mathcal{C}$ 的最小 $\sigma$ 代数, 记作 $\sigma(\mathcal{C})$.

单调类定理

$\lambda$ 系

$\Omega\in\Lambda$;
对真差封闭: $A,B\in\Lambda$, $A\subset B$, 则 $B\backslash A\in\Lambda$;
对不降序列的并封闭: $\{A_n:n\in\mathbb{N}\} \subset\Lambda$, $A_n\uparrow$, 则 $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\in\Lambda$.

$\pi$ 系

对交封闭: $A,B\in\Lambda$, 则 $A\cap B\in\Lambda$.

单调类定理

定理设 $\Omega$ 的子集类 $\mathcal{C}$ 是 $\pi$ 系, 则 $\Lambda(\mathcal{C})=\sigma(\mathcal{C})$.

证明思路:

令 $_A={B():AB()} $;
$\forall A\in\Lambda(\mathcal{C})$, 证明 $\Lambda_A$ 是 $\lambda$ 系;
$\forall A\in\mathcal{C}$, 证明 $\Lambda_A=\Lambda(\mathcal{C})$;
$\forall A\in\Lambda(\mathcal{C})$, 证明 $\Lambda_A=\Lambda(\mathcal{C})$.

测度的构造

有限可加测度

可加: $\forall A,B\in\mathcal{C}$, $A\cup B\in\mathcal{C}$, $A\cap B=\varnothing$, 有 $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$.
可加测度 $\Leftrightarrow$ 有限可加测度.

$\sigma$ 可加测度

$\forall A_n\in\mathcal{C}$, $n\in\mathbb{N}$ 两两不交且 $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{C}$, 有 $\mu(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(A_n)$.

$\sigma$ 有限测度

若 $\forall A\in\mathcal{C}$, $\exists \{A_n:n\in\mathbb{N}\} \subset\mathcal{C}$, s.t. $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n=A$ 且 $\mu(A_n)<\infty$, $\forall n\in\mathbb{N}$, 则称其为 $\sigma$ 有限的.

测度扩张定理

半集代数上的测度

定理设 $F$ 为 $\mathbb{R}$ 上的右连续增函数, 则在半集代数 \[\mathscr{S}:=\{(a,b]:-\infty\leqslant a\leqslant b\leqslant\infty\} \] 上有唯一的测度 $\mu=\mu_F$, s.t. \[\mu((a,b])=F(b)-F(a),~a\leqslant b\leqslant a,b\in\mathbb{R},\] 并且 $\mu$ 在有限区间上的值有限(因而 $\sigma$ 有限).

测度扩张定理

定理设 $\mu$ 为 $\Omega$ 的半集代数 $\mathscr{S}$ 上的测度, 则 $\mu$ 在 $\mathscr{S}$ 生成的 $\sigma$ 代数 $\sigma(\mathscr{S})$ 上存在一个扩张. 若 $\mu$ 是 $\sigma$ 有限的, 则扩张唯一.

唯一性证明: $\lambda-\pi$ 系方法.

外测度

$\mu^*(\varnothing)=0$;
不降性: $\forall A\subset B\subset\Omega$, 有 $\mu^*(A)\leqslant \mu^*(B)$;
次 $\sigma$ 可加性: $\forall A_n\subset\Omega$, $n\in\mathbb{N}$, 有 \[\mu^*(\bigcup\limits_{N=1}^\infty A_n)\leqslant \sum\limits_{n=1}^\infty \mu^*(A_n).\]

$\mu^*$ 可测集: $\mu^*(D)=\mu^*(A\cap D)+\mu^*(A^c\cap D)$.

测度空间

$(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ 是测度空间当且仅当 $\mathcal{F}$ 是 $\sigma$ 代数且 $\mu$ 是 $\Omega$ 上的 $\sigma$ 可加测度.

若 $\mu(\Omega)=1$ 则称为概率空间, $\mu$ 即为概率 $\mathbb{P}$.

可加性的提升

定理 $\mu$ 为集代数 $\mathscr{A}$ 上的可加测度, 若 $\mu$ 还满足以下条件之一:

$\mu$ 下方连续: 即对 $\forall \{A_n\} \subset\mathscr{A}$, $A_n\uparrow A$, 总有 $\lim\limits_ {n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(A)$;

$\mu$ 有限且在 $\varnothing$ 上方连续: 即对 $\forall \{A_n\} \subset\mathscr{A}$, $A_n\downarrow\varnothing$, 都有 $\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)=0$. 则 $\mu$ 为 $\mathscr{A}$ 上的测度(即有限可加可提升为 $\sigma$ 可加).

测度的完全化

$\mu$ 零集: 零测集的子集称为 $\mu$ 零集;
完全测度: 若每一个 $\mu$ 零集都属于 $\mathcal{F}$, 则称 $\mu$ 为完全测度, 该测度空间为完全测度空间.

定理设 $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ 为测度空间, 令 \[\overline{\mathcal{F}}=\{A\triangle N:A\in\mathcal{F}, N 为 \mu 零集\} =\{A\cup N:A\in\mathcal{F}, N 为 \mu 零集\} \] \[\overline{\mu}(A\triangle N)=\mu(A),~A\in\mathcal{F},~N 为 \mu 零集合\] 则 $(\Omega,\overline{\mathcal{F}},\overline{\mu})$ 为一个完全测度空间, 称为原空间的完全化.

可测函数与随机变量

逆像

逆像与集合运算的交换

设 $f$ 是 $\Omega\to E$ 的映射, 则 $f^{-1}$ 有如下性质:

$f^{-1}(E)=\Omega$, $f^{-1}(\varnothing)=\varnothing$;
$f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c$;
$f^{-1}(\bigcup\limits_{\gamma\in\Gamma}B_\gamma)=\bigcup\limits_{\gamma\in\Gamma}f^{-1}(B_\gamma)$;
$f^{-1}(\bigcap\limits_{\gamma\in\Gamma}B_\gamma)=\bigcap\limits_{\gamma\in\Gamma}f^{-1}(B_\gamma)$;
$f^{-1}(B_1\backslash B_2)=f^{-1}(B_1)\backslash f^{-1}(B_2)$.

逆像与集类

进一步, $f^{-1}$ 还对集类有相同的作用:

$\mathscr{E}$ 为 $E$ 的一个 $\sigma$ 代数 $\Rightarrow$ $f^{-1}(\mathscr{E})$ 是 $\Omega$ 的 $\sigma$ 代数;
$\mathcal{C}$ 是 $E$ 的任意非空子集类, 则 $f^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))=\sigma(f^{-1}(\mathcal{C}))$. (证明: $\lambda-\pi$ 系方法)

随机变量

定理 $X$ 是 $(\Omega,\mathcal{F})\to (E,\mathscr{E})$ 的可测映射的充要条件是: 存在 $\mathscr{E}$ 的一个子集类 $\mathcal{C}$, s.t. 1. $\sigma(\mathcal{C})=\mathscr{E}$; 2. $\forall A\in\mathcal{C}$, $X^{-1}(A)\in\mathcal{F}$.

可测函数的构造

非负简单函数→非负可测函数→可测函数

单调类定理

$\mathscr{L}$ 系

设 $\mathscr{L}$ 是定义在 $\Omega$ 上的广义实函数类, 满足: $f\in\mathscr{L}\Rightarrow f^+,f^-\in\mathscr{L}$. 函数族 $L$ 称为 $\mathscr{L}$, 如果满足: 1. $1\in L$; 2. $L$ 中有限个函数的线性组合(如果有意义)属于 $L$; 3. 若 $f_n\in L$, $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant f_n\uparrow f$, $f$ 有界或 $f\in\mathscr{L}$, 则 $f\in L$.

单调类定理

若 $\mathscr{L}$ 系 $L$ 包含一 $\pi$ 系 $\mathcal{C}$ 中任意集合的示性函数, 则 $L$ 包含所有属于 $\mathscr{L}$ 的 $\sigma(\mathcal{C})$ 可测函数.

证明: $\lambda-\pi$ 系方法.

积分与数学期望

非负简单函数→非负可测函数→可测函数

积分的性质

单调收敛

定理若 $f_n$, $n\in\mathbb{N}$ 是非负(可举反例)可测函数列, 且 $f_n\uparrow f$, 则 $\lim\limits_{n\to\infty}\int f_n=\int f$.

积分的序性质

若 $f,g$ 为实函数, $\int f$, $\int g$ 存在, 且 $f\geqslant g$, a.e. 则 $\int_A f\geqslant \int_A g$, $\forall A\in\mathcal{F}$.
若 $\int f$ 存在, 则 $\vert\int f\vert\leqslant \int\vert f\vert$,
$f\geqslant 0$, 则 $\int f=0\Leftrightarrow f=0$, a.e..

可积性质

给定可测函数 $f,g$ 有:

$f$ 可积 $\Leftrightarrow$ $f<$; 当 $f$ 可积时, $f$ a.e. 有限;
若 $\vert f\vert\leqslant g$ 可积, 则 $f$ 可积;
若 $f,g$ 可积, 则 $f+g$ 可积.

期望的性质

独立事件类的扩张

独立事件类可以由 $\pi$ 系扩张至其生成的 $\sigma$ 代数.

定理 $\mathcal{C}_k\subset\mathcal{F}$ 为包含 $\Omega$ 的 $\pi$ 系, 若 $\forall A_k\in\mathcal{C}_k$, $k=1,\cdots,n$, 有 \[\mathbb{P}(\bigcap\limits_{k=1}^n A_k)=\prod\limits_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k),\] 则上式对 $\forall A_k\in\sigma(\mathcal{C}_k)$, $k=1,\cdots,n$ 成立.

独立随机变量

定理设 $X_1,\cdots,X_n$ 为独立r.v., 且 $\mathbb{E}X_k$ 有限, 则 \[\mathbb{E}(X_1\cdots X_n)=\prod\limits_{k=1}^n \mathbb{E}X_k.\]

L-S 积分表示

分布测度

设 $f$ 是 $(\Omega,\mathcal{F},\mu)\to(E,\mathscr{E})$ 的可测映射, $\mu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的测度, 定义 \[\mu_f(B)=\mu(f^{-1}(B)),\quad \forall B\in\mathscr{E},\] 则 $\mu_f$ 是 $\mathscr{E}$ 上的测度, 也可记作 $\mu_f=\mu\circ f^{-1}$.

积分变换定理

定理设 $f$ 是 $(\Omega,\mathcal{F},\mu)\to(E,\mathscr{E})$ 的可测映射, $g$ 是 $(E,\mathscr{E})$ 上的可测函数, 则 \[\int_{f^{-1}(B)}(g\circ f){\rm d}\mu=\int_B g{\rm d}\mu_f,\quad \forall B\in\mathscr{E}.~(同时存在,~存在即相等)\]

积分变换

定理设 $\mu$ 是 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的测度, $p$ 是非负 $\mathcal{F}$ 可测函数, 定义 \[\nu(A)=\int_A p(w)\mu({\rm d}w),\quad A\in \mathcal{F},\] 则 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的测度, 且有 \[\int_A g(w)\nu({\rm d}w)=\int_A g(w)p(w)\mu({\rm d}w).~(同时存在,~存在即相等)\]

积分的收敛

单调收敛定理

定理给定 $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$, $g$ 为实可积函数, $f_n$, $n\in\mathbb{N}$ 是实 $\mathcal{F}$ 可测函数, 若 $g\leqslant f_n\uparrow f$, a.e. 则 \[\lim\limits_{n\to\infty}\int f_n=\int\lim\limits_{n\to\infty}f_n.\]

Fatou引理

定理设 $g,h$ 是可积实函数, ${f_n:n} $ 是实可测函数列, 有 1. $\forall n\in\mathbb{N}$, $f_n\geqslant g$, a.e., 则 \[\int\varliminf\limits_{n\to\infty} f_n\leqslant \varliminf\limits_{n\to\infty}\int f_n.\] 2. $\forall n\in\mathbb{N}$, $f_n\leqslant h$, a.e., 则 \[\int\varlimsup\limits_{n\to\infty} f_n\geqslant \varlimsup\limits_{n\to\infty}\int f_n.\]

控制收敛定理

定理设 $g,h$ 为可积实函数. 1. 若 $f_n$, $n\in\mathbb{N}$ 为实可测函数序列, 当 $g\leqslant f_n\leqslant h$, a.e., $\forall n\in\mathbb{N}$, $f_n\to f$, a.e. 时, 有 $\int f_n\to\int f$. 2. 若 $f_n$, $n\in\mathbb{N}$ 为实或复可测函数序列, 当 $\vert f_n\vert\leqslant g$, a.e., $\forall n\in\mathbb{N}$, $f_n\to f$, a.e. 时, 有 $\int\vert f_n-f\vert\to 0$, 因而 $\int f_n\to\int f$.

乘积空间

乘积 $\sigma$ 代数

设 $(\Omega_i,\mathcal{F})$, $i=1,2$ 是可测空间, 称包含可测矩形 \[\mathcal{C}=\{A_1\times A_2: A_i\in\mathcal{F}, i=1,2\} \] 的最小 $\sigma$ 代数为 $\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2$ 的乘积 $\sigma$ 代数.

可测矩形类 $\mathcal{C}$ 是一个半集代数;
$\mathscr{B}^2=\mathscr{B}\times\mathscr{B}$. (证明: $\lambda-\pi$ 系方法)

截集

$A\subset\Omega_1\times\Omega_2$, $\omega_i\in\Omega_i$, $i=1,2$, 称集合 \[A_{\omega_1}=A(\omega_1)=\{\omega_2\in\Omega_2: (\omega_1,\omega_2)\in A\} ,\] \[A_{\omega_2}=A(\omega_2)=\{\omega_1\in\Omega_1: (\omega_1,\omega_2)\in A\} ,\] 分别为 $A$ 在 $\omega_1$, $\omega_2$ 处的截集.

截集的性质

截集与集合的运算可以交换:

$A\cap B=\varnothing\Rightarrow A(\omega_i)\cap B(\omega_i)=\varnothing$;
$A\subset B\Rightarrow A(\omega_i)\subset B(\omega_i)$;
$A=\bigcup\limits_\alpha A^{(\alpha)}\Rightarrow A(\omega_i)=\bigcup\limits_\alpha A^{(\alpha)}(\omega_i)$;
$A=\bigcap\limits_\alpha A^{(\alpha)}\Rightarrow A(\omega_i)=\bigcap\limits_\alpha A^{(\alpha)}(\omega_i)$;
$C=A\backslash B\Rightarrow C(\omega_i)=A(\omega_i)\backslash B(\omega_i)$.

对于截集的可测性有如下定理:

定理取 $A\in\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2$, 则 $\forall \omega_1\in\mathcal{F}_1$, 有 $A(\omega_1)\in\mathcal{F}_2$.

证明: $\lambda-\pi$ 系方法.

截函数

$f_{\omega_1}=f(\omega_1,\cdot)$ 称为 $f$ 在 $\omega_1$ 的截函数;
$f_{\omega_2}=f(\cdot,\omega_2)$ 称为 $f$ 在 $\omega_2$ 的截函数;

定理任意 $\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2$ 可测函数的截函数是可测的.

关于截函数还有如下重要定理:

定理设 $f$ 是 $\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2$ 可测函数, $\mu_i$ 是 $\sigma$ 有限测度, 则 \[f^{(2)}=\int_{\Omega_1}f(\omega_1,\cdot)\mu_1({\rm d}\omega_1)\] \[f^{(1)}=\int_{\Omega_2}f(\cdot,\omega_2)\mu_2({\rm d}\omega_2)\] 是非负可测函数.

乘积测度

设 $\mu_i$ 是 $\sigma$ 有限测度, 若令 \[\mu(A)=\int_{\Omega_1}\mu_2(A(\omega_1))\mu_1({\rm d}\omega_1),~A\in\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2,\] 或 \[\mu(A)=\int_{\Omega_2}\mu_1(A(\omega_2))\mu_2({\rm d}\omega_2),~A\in\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2,\] 则 $\mu$ 是 $\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2$ 上唯一满足 \[\mu(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2(A_2),~\forall A_i\in\mathcal{F}_i\] 的 $\sigma$ 有限测度.

转移测度

映射 $\lambda:\Omega_1\times\mathcal{F}_2\to [0,\infty]$ 满足下列条件, 就称之为 $(\Omega_1,\mathcal{F}_1)\to(\Omega_2,\mathcal{F}_2)$ 的转移测度: 1. $\forall B\in\mathcal{F}_2$, $\lambda(\cdot,B)$ 是 $\mathcal{F}_1$ 可测函数; 2. $\forall \omega\in\Omega_1$, $\lambda(\omega,\cdot)$ 是 $\mathcal{F}_2$ 上的测度.

若 $\exists B_{kn}\in\mathcal{F}_k$, $n\in\mathbb{N}$ 两两不交, $\Omega_k=\bigcup\limits_{n=1}^\infty B_{kn}$, $k=1,2$, s.t. \[\sup\limits_{\omega\in B_{1m}}\lambda(\omega,B_{2n})<\infty,~\forall m,n\in\mathbb{N},\] 则称 $\lambda$ 为 $\sigma$ 有限转移测度.

Fubini定理

定理设 $f$ 是非负 $\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2$ 可测函数, 则 \[ \begin{align} \int_{\Omega_1\times\Omega_2}f{\rm d}(\mu_1\times\mu_2) &= \int_{\Omega_1}\left(\int_{\Omega_2}f(\omega_1,\omega_2)\mu_2({\rm d}\omega_2)\right)\mu_1({\rm d}\omega_1) \\ &= \int_{\Omega_2}\left(\int_{\Omega_1}f(\omega_1,\omega_2)\mu_1({\rm d}\omega_1)\right)\mu_2({\rm d}\omega_2). \end{align}\]

Fubini定理

Fubini 设 $f$ 是非负 $\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2$ 可测函数且 $\int f{\rm d}(\mu_1\times\mu_2)$ 存在, 则 1. 积分函数存在且可测: - $g(\omega_1)=\int_{\Omega_2}f(\omega_1,\omega_2)\mu_2({\rm d}\omega_2)$ 存在且 $\mathcal{F}_1$ 可测; - $h(\omega_2)=\int_{\Omega_1}f(\omega_1,\omega_2)\mu_1({\rm d}\omega_1)$ 存在且 $\mathcal{F}_2$ 可测; 2. $\int_{\Omega_1}g{\rm d}\mu_1$, $\int_{\Omega_2}h{\rm d}\mu_2$ 存在且 \[\int_{\Omega_1\times\Omega_2}f({\rm d}\mu_1\times\mu_2)=\int_{\Omega_1}g({\rm d}\mu_1)=\int_{\Omega_2}f({\rm d}\mu_2);\] 3. 若 $f$ 对 $\mu_1\times\mu_2$ 可积, 则 $g$, $h$ 分别对 $\mu_1$, $\mu_2$ 可积.

测度空间

各种集类

半集代数

集代数

\(\sigma\) 代数

单调类定理

\(\lambda\) 系

\(\pi\) 系

单调类定理

测度的构造

有限可加测度

\(\sigma\) 可加测度

\(\sigma\) 有限测度

测度扩张定理

半集代数上的测度

测度扩张定理

外测度

测度空间

测度空间

可加性的提升

测度的完全化

可测函数与随机变量

逆像

逆像与集合运算的交换

逆像与集类

随机变量

可测函数的构造

单调类定理

\(\mathscr{L}\) 系

单调类定理

积分与数学期望

积分的性质

单调收敛

积分的序性质

可积性质

期望的性质

独立事件类的扩张

独立随机变量

L-S 积分表示

分布测度

积分变换定理

积分变换

积分的收敛

单调收敛定理

Fatou引理

控制收敛定理

乘积空间

乘积 \(\sigma\) 代数

截集

截集

截集的性质

截函数

乘积测度

转移测度

Fubini定理

Fubini定理