北京师范大学概率测度小测题目

概率测度第一次小测 2017.10.19

正确须证明, 错误须举反例, 没有理由不得分.

\(f:\Omega\rightarrow E\), \(\forall~B\subset E\), \(f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c\);
设 \((\Omega,\mathcal{F},\mu)\) 为测度空间, 取 \(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\downarrow\subset\mathcal{F}\). s.t. \(A_n\to\varnothing\), 有 \(\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)=0\);
设 \((\Omega,\mathcal{F},\mu)\) 为测度空间, 取 \(A\in\mathcal{F}\), s.t. \(\mu(A)=0\), 取 \(B\subset A\), 则有 \(\mu(B)=0\);
若 \(\Omega\) 的子集类 \(\mathcal{C}\) 既是 \(\lambda\) 系又是 \(\pi\) 系, 则 \(\mathcal{C}\) 为 \(\sigma\) 代数.

叙述测度扩张定理, 并证明其中的唯一性部分.

同样…有差错不负任何责任.

正确. 直接验证即可;
错误. 取 \(\mathbb{R}\) 上的Lebesgue测度, \(A_n=(n,+\infty)\), 即有 \(\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n=\varnothing\), 但 \(\mu(A_n)=\infty\), \(\forall n\in\mathbb{N}\), 矛盾;
错误. 取 \(\Omega=\{0,1,2\}\) 上的 \(\sigma\) 代数 \(\mathcal{F}=\{\varnothing,\{0,1\},\{2\},\Omega\}\), 取集函数 \(\mu(\{\varnothing\})=\mu(\{0,1\})=0\), \(\mu(\{2\})=\mu(\Omega)=1\), 容易验证 \(\mu\) 是一个测度. 取 \(B=\{0\}\subset A=\{0,1\}\), 则 \(B\notin\mathcal{F}\), 矛盾;
正确. 直接验证即可(由 \(\lambda\) 系可直接得到 \(\Omega\) 和余运算封闭, 证明对有限并运算封闭时继续构造部分和即可).

见课本…

发卷子了==其实回忆基本没错.

正确须证明, 错误须举反例, 没有理由不得分.

给定概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\), 如果对于 \(\forall A\in\mathcal{F}\), 有 \(P(A)=0 或 1\), 则:
1. \(\mathcal{F}=\{\Omega,\varnothing\}\);
2. 对于任意随机变量 \(X\in\mathcal{F}\), 有 \(X=C\), P-a.s..
给定测度空间 \((\Omega, \mathcal{F}, \mu)\), \(f\in\mathcal{F}\). 若 \(\mu\) 是 \(\sigma\)-有限的, 则 \(\mu_f\) 也是 \(\sigma\)-有限的.

设 \(X_1\), \(X_2\) 是独立随机变量, \(X_1\sim U[0,1]\), \(X_2\sim B(n,p)\). 试证 \(Y=X_1+X_2\) 是连续型随机变量并求其密度函数.
给定测度空间 \((\Omega, \mathcal{F}, \mu)\), \(f_n\in\mathcal{F}\) 可积, \(\sup\limits_n \int f_n{\rm d}\mu<\infty\), 且 \(f_n\uparrow f\). 试证: \(f\) 可积, 且 \(\int f_n{\rm d}\mu\to\int f{\rm d}\mu\).

两小问:
1. 错误. 取 \(A\subset\Omega\), \(\mathcal{F}=\{\varnothing, A, A^c, \Omega\}\), \(\mu( \varnothing)=\mu(A^c)=0\), \(\mu(A)=\mu(\Omega)=1\), 容易验证是一个反例.
2. 正确. 注意正测度集存在性的证明.
错误. 考虑 \(\mathbb{R}\) 上的Lebesgue测度, \(f:\mathbb{R}\to\{1\}\), \(x\mapsto 1\). 则 \(\mu_f\) 不是 \(\sigma\)-有限.