数理统计教程 王兆军等著 习题一 10 P40.
设 \(X_1,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\sim F\) 的iid样本, 总体概率密度函数为 \(f(x)\), 则对于给定的 \(1\leqslant i\leqslant j\leqslant n\), 求统计量 \(X_{(i)}\) 与 \(X_{(j)}\) 的联合密度.
首先注意到, \(X_{(1)},\cdots,X_{(n)}\) 的联合密度为 \[f_{(X_{(1)},\cdots,X_{(n)})}(x_1,\cdots,x_n)=n!\cdot f(x_1)\cdots f(x_n).\]
于是只需要求 \((X_{(i)}, X_{(j)})\) 的边缘密度.
利用结果 \[\idotsint\limits_{a<x_1<\cdots<x_k<b}f(x_1)\cdots f(x_k){\rm d}x_1\cdots {\rm d}x_k=\frac{1}{k!}(F(b)-F(a))^k\]
可得 \[ \begin{align} f_{(X_{(i)}, X_{(j)})}(x,y) &= \idotsint\limits_{x_k\in\mathbb{R},k\neq i,j}n!\cdot f(x_1)\cdots f(x_n){\rm d}x_1\cdots{\rm d}x_{i-1}{\rm d}x_{i+1}\cdots{\rm d}x_{j-1}{\rm d}x_{j+1}{\rm d}x_n \\ &= n!\times\idotsint\limits_{0<x_1\cdots<x_{i-1}<x}f(x_1)\cdots f(x_{i-1}){\rm d}x_1\cdots{\rm d}x_{i-1}\times \idotsint\limits_{x<x_{i+1}<\cdots<x_{j-1}<y}f(x_{i+1})\cdots f(x_{j-1}){\rm d}x_{i+1}\cdots{\rm d}x_{j-1}\times \idotsint\limits_{y<x_{j+1}<\cdots<x_n<+\infty}f(x_{j+1})\cdots f(x_n){\rm d}x_{j+1}{\rm d}x_n\times f(x)f(y) \\ &= n!\times \frac{F^{j-1}(x)}{(j-1)!}\times\frac{[F(y)-F(x)]^{k-j-1}}{(k-j-1)!}\times\frac{[1-F(y)]^{n-k}}{(n-k)!}\times f(x)f(y) \\ &= \frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}F^{j-1}(x)[F(y)-F(x)]^{k-j-1}[1-F(y)]^{n-k}f(x)f(y) \end{align} \]
同样可以求出任意多个次序统计量的联合密度.