\(L^p(\Omega,\mu)\) 空间
\(1\leqslant p<\infty\), 设 \((\Omega,\mathscr{B},\mu)\) 是一个测度空间, \(u\) 是 \(\Omega\) 上的可测函数且 \(|u(x)^p|\) 在 \(\Omega\) 可积. 则记这样 \(u\) 的全体为 \(L^p(\Omega,\mu)\).
在 \(L^p(\Omega,\mu)\) 中几乎处处相等的函数视为同一个函数后, \(L^p(\Omega,\mu)\) 仍为线性空间. 定义 \[\Vert u\Vert=\left(\int\nolimits_\Omega \vert u(x)^p\vert {\rm d}\mu\right)^\frac{1}{p}\] 则 \(\Vert\cdot\Vert\) 为一个范数. 事实上 \(L^p(\Omega,\mu)\) 还是一个Banach空间.
\(\mathbb{N}\) 上的 \(L^p\) 范数
以上的空间在 \(\mathbb{N}\) 上的特殊情形如下:
\(\Omega=\mathbb{N}, \mu(\{n\})=1~(\forall n\in\mathbb{N})\), 此时 \(L^p(\Omega,\mu)\) 由满足 \(\sum\limits_{n=1}^\infty\vert u_n\vert^p<\infty\) 的所有序列组成, 记为 \(l^p\).
此时其范数为 \[\Vert u\Vert=\left(\sum\limits_{n=1}^\infty \vert u_n\vert^p\right)^\frac{1}{p}.\]
对于 \(\forall N\in\mathbb{N}\), 记 \(f_N(x)=\sum\limits_{n=1}^Nu_n\chi_{\{n\}}\), 令 \(f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\chi_{\{n\}}\), \(x\in\mathbb{N}\).
则有 \[ \begin{align} \int\nolimits_\mathbb{N}\vert f_N(x)\vert^p{\rm d}\mu(x) &= \int\nolimits_\mathbb{N}\sum\limits_{n=1}^Nu_n\chi_{\{n\}}{\rm d}\mu(x) \\ &= \sum\limits_{n=1}^N \vert u_n\vert^p\cdot\int\nolimits_\mathbb{N}\chi_{\{n\}}{\rm d}\mu(x) \\ &= \sum\limits_{n=1}^N \vert u_n\vert^p \end{align} \]
又显然, \(0\leqslant\vert f_N(x)\vert^p\leqslant \vert f_{N+1}(x)\vert^p\), 且 \(\vert f(x)\vert^p=\lim\limits_{N\to\infty}\vert f_N(x)\vert^p\). 故由非负可测函数的Levi定理有 \[ \begin{align} \int\nolimits_\mathbb{N}\vert f(x)\vert^p{\rm d}\mu(x) &= \int\nolimits_\mathbb{N}\lim\limits_{N\to\infty}\vert f_N(x)\vert^p{\rm d}\mu(x) \\ &= \lim\limits_{N\to\infty}\int\nolimits_\mathbb{N}\vert f_N(x)\vert^p{\rm d}\mu(x) \\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty \vert u_n\vert^p \end{align} \]
即有 \[ \left(\sum\limits_{N=1}^\infty\vert u_n\vert^p\right)^\frac{1}{p}=\left(\int\nolimits_\mathbb{N}\vert f(x)\vert^p{\rm d}\mu(x)\right)^\frac{1}{p}. \]