- 2015秋 数学分析一 期末 唐仲伟
- 2016秋 数学分析三 期中 唐仲伟
- 2016秋 数学分析三 期末 唐仲伟
- 2020秋 数学分析三 期末 熊金钢
2015 数学分析一 期末 唐仲伟
计算题
共40分, 每题5分.
求极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\);
求极限 \(\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt{(a+x)(b+x)}-\sqrt{(a-x)(b-x)}\);
求不定积分 \(\int e^{\sqrt{x}}dx\);
求不定积分 \(\int \frac{1}{1+x^4}dx\);
求广义积分 \(\int\nolimits_0^1 lnxdx\);
求广义积分 \(\int\nolimits_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^3}\);
求二重积分 \(\iint\nolimits_D [x+y]dxdy\), 其中 \(D=[0,2]\times[0,2]\), \([x+y]\) 是取整函数;
设二阶偏导数连续的二元函数 \(z=f(x,y)\) 满足方程 \[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=0\] 且 \(f(x,2x)=x\), \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) 当 \(y=2x\) 时等于 \(x^2\). 求 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)\) 当 \(y=2x\) 时的值.
证明题
共60分, 每题10分.
求证数列 \(x_n=(-1)^n\) 当 \(n\to\infty\) 时发散;
设 \(f,g\) 在闭区间 \([a,b]\) 连续, 证明 \[\int\nolimits_a^b f(x)g(x)dx\leqslant\frac{1}{2}\left[\int\nolimits_a^bf^2(x)dx+\int\nolimits_a^bg^2(x)dx\right];\]
设广义积分 \(\int\nolimits_0^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx\) 和 \(\int\nolimits_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\) 都收敛, 证明: \[\int\nolimits_0^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\int\nolimits_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx;\]
设 \[f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0), \\ 0, & (x,y)=(0,0). \\ \end{cases}\]
设函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 连续, 且 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=a\). 求证: \(f'(0)\) 存在, 且 \(f'(0)=a\).
设 \[P_n(x)=\frac{1}{n!2^n}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n,\] 证明: \[\int\nolimits_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx = \begin{cases} 0, & m\neq n,\\ \frac{2}{2n+1}, & m=n. \\ \end{cases}\]
2016秋 数学分析三 期中 唐仲伟
计算题
共50分, 前4题每题5分, 后3题每题10分.
\(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy}\).
\(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\).
\(\lim\limits_{x\to\infty}\lim\limits_{y\to\infty}\frac{xy}{x+y}\).
\(\lim\limits_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)^{x^2}\).
设 \(f(x,y)=(x+y,x-y,xy)\in\mathbb{R}^3\), \(g(x,y,z)=(xyz,ze^{xy})\in\mathbb{R}^2\). 记 \(F=f\circ g\), 求 \(F\) 的Frechet导数 \(F'(x,y,z)\).
求 \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\) 的普通极值.
设方程 \(y-\frac{1}{2}\sin y=x\) 能确定隐函数 \(y=f(x)\), 令 \(z=e^{x+y}\), 求 \(\frac{dz}{dx}\), \(\frac{d^2z}{dx^2}\).
证明题
共50分, 每题10分.
证明: \(f(x,y)=\frac{xy}{x+y}\) 在 \((x,y)=(0,0)\) 处极限不存在.
设数值函数 \(f(x)\) 在紧集 \(D\subset\mathbb{R}^n\) 上连续, 且恒为正值, 求证: \(\exists~K>0\), s.t. \(\forall~x\in D\), 有 \(f(x)>K\).
证明: \[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \\ \end{cases}\] 在 \((0,0)\) 的邻域中连续且有有界的偏导数 \(f_x'(x,y)\) 和 \(f'_y(x,y)\), 但函数在点 \((0,0)\) 不可微 .
设 \(f:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^n\) 是开集 \(G\) 上的 \(C^1\) 类函数, 且 \(J_f(x_0)=0\), 记 \(y_0=f(x_0)\). 如果 \(f\) 在 \(x_0\) 存在反函数 \(f^{-1}\), 求证 \(f^{-1}\) 在 \(y_0\) 不可微.
证明: 由方程 \[y=x\varphi(x)+\psi(z)\] 所定义的隐函数 \(z=z(x,y)\) 满足方程 \[\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0.\]
2016秋 数学分析三 期末 唐仲伟
计算题
共20分, 前四题每题5分, 后3题每题10分.
计算二重积分 \(\iint\limits_E xydxdy\), 其中 \(E\) 是四条抛物线 \[y^2=px,~y^2=qx,~x^2=ay,~x^2=by\] 所围成的区域, \(0<p<q\), \(0<a<b\).
计算三重积分 \(\iiint\limits_Vxyzdxdydz\), 其中 \(V\) 是由曲面 \[x^2+y^2+z^2=1,x\geqslant,y\geqslant0,z\geqslant0\] 所围成的区域.
计算第一型曲线积分 \(\int\nolimits_C(x^2+y^2)ds\), 其中 \(C\) 为曲线 \[x=a(\cos t+t\sin t),y=a(\sin t-t\cos t)~(0\leqslant t \leqslant 2\pi).\]
计算第一型曲面积分 \(\iint\limits_S(x+y+z)dS\), 其中 \(S\) 为曲面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\), \(z\geqslant0\).
设 \(\sin z-xyz=0\), 当 \(\cos z-xy\neq0\) 时, 求 \(\frac{\partial z}{\partial x}\), \(\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}\).
求函数 \(f(x,y,z)=x-2y+2z\) 在球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 上的最大、最小值.
计算第二型曲线积分 \(\oint\nolimits_C e^x[(1-\cos y)dx-(y-\sin y)dy]\), 其中 \(C\) 是曲线 \(y=\sin x\) 介于 \([0,1]\) 的一段, \(C\) 的方向对应于 \(x\) 增加的方向.
证明题
共50分, 每题10分.
设二元数值函数 \(f(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 上连续, 一元数值函数序列 \(\{\phi_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛, 且 \(\phi_n(x)\in [c,d]\). 则 \(g_n=f(x,\phi_n(x))\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛.
设数值函数 \(z=f(x,y)\) 在矩形区域 \(D=[a,b]\times[c,d]\subset\mathbb{R}^2\) 上偏导数有界, 求证: \(f\) 在 \(D\) 上一致连续.
设三重积分 \(\iiint\limits_D f(x,y,z)dxdydz\) 存在, 区域 \(D\) 关于 \(xOy\) 平面对称, 被积函数 \(f\) 关于 \(x\) 是一个奇函数, 即 \(f(-x,y,z)=-f(x,y,z)\), 求证: \(\iiint\limits_D f(x,y,z)dxdydz=0\).
设 \(f\in C[0,a]\), 即 \(f\) 在区间 \([0,1]\) 上连续, 证明: \[\int\nolimits_0^a dx_1\int\nolimits_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}} f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)dx_n=\frac{1}{n!}\left[\int\nolimits_0^a f(x) dx\right]^n.\]
- 设 \(S\) 为 \(\mathbb{R}^3\) 空间中分片光滑的封闭定向曲面, \(\nu_0\) 为任意固定的方向, \(N\) 为 \(S\) 的单位外法向量, 求证 \[\iint\limits_S \cos(\nu_0, N)dS=0.\]
- 证明Lebesgue引理: 设 \(\mathbb{R}^n\) 中的紧集 \(D\) 有一个开覆盖 \(\mathfrak{C}=\{G_\alpha\}\), 则存在正数 \(l>0\), 对于 \(\forall~x\in D\), \(\exists~G_\alpha\in\mathfrak{C}\), s.t. \(x\) 的球(方)邻域 \(U(x,l)\subset G_\alpha\).
2020秋 数学分析三 熊金钢
从6个题目中选择5个做，每题20分.
计算参变量积分 \[ F(x)=\int_0^{x^2} {\rm d}t\int_{t-x}^{t+x}\cos(x^2-y^2-t^2)~{\rm d}y, \quad x\in\mathbb{R} \] 的导数 \(F'\).
计算第一型曲面积分 \[ I=\int_L y~{\rm d}s, \] 其中 \(L\) 为连接三点 \(A(0,0)\)，\(B(1,0)\)，\(C(0,1)\) 的封闭折线.
计算第二型曲面积分 \[ I=\oiint_Sf(x)~{\rm d}y\wedge{\rm d}z+g(y)~{\rm d}z\wedge{\rm d}x+h(z)~{\rm d}x\wedge{\rm d}y, \] 其中 \(S\) 是 \(\Omega=[-1,1]^3\) 的外表面，函数 \(f,g,h\) 在 \(S\) 上均连续.
设 \(f\) 是定义在 \(\mathbb{R}\) 上的有界连续函数，令 \[ F(x,t)=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)~{\rm d}y,\quad (x,t)\in\mathbb{R}\times (0,+\infty). \] 证明：\(F(x,t)\in C^2(\mathbb{R}\times (0,+\infty))\) 且满足 \(\frac{\partial}{\partial x}F(x,t)-\frac{\partial^2}{\partial x^2}F(x,t)=0\).
计算 \(f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\) 在 \([-\pi,\pi)\) 上的 Fourier 级数，用该级数计算 \[ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2+1}. \]
设 \(f(\rho)\in C(\mathbb{R})\)，\(F\) 是 \(f\) 的一个原函数. 设 \(u\in C^2(\bar{B}_R)\) 满足方程 \[ -\Delta u(x)=f(u(x))\quad \forall x\in\bar{B}_R, \] 其中 \(\delta\equiv -\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\)，\(R>0\)，\(B_R=\{ x\in\mathbb{R}^n: |x|<R \}\)，\(n\geqslant 3\). 证明： \[ \frac{2-n}{n}\int_{B_R}|\nabla u|^2~ {\rm d}x+\frac{R}{2}\int_{\partial B_R} |\nabla u|^2~ {\rm d}\sigma-\frac{1}{R}\int_{\partial B_R}\left| \frac{\partial u}{\partial \nu} \right|^2~ {\rm d}\sigma \\ =-n \int_{B_R}F(u)~ {\rm d}x+ R\int_{\partial B_R}F(u)~ {\rm d}\sigma, \] 其中 \(\nu=\frac{x}{R}\) 是 \(\partial B_R\) 的单位外法向，\({\rm d}\sigma\) 是面积微元. 提示： \[ -\Delta u(x)\cdot \sum\limits_{i=1}^n x_i\partial_{x_i} u(x)=f(u)\sum\limits_{i=1}^n x_i\partial_{x_i}u(x). \]