单调类定理

基础定义

\(\sigma\) 代数

称 \(\Omega\) 的子集类 \(\mathscr{F}\) 为 \(\Omega\) 的 \(\sigma\) 代数, 如果它满足:

\(\Omega\in\mathcal{F}\);
若 \(A\in\mathcal{F}\), 则 \(A^c\in\mathcal{F}\);
若 \(A_n\in\mathcal{F}\), \(n\in\mathbf{N}\), 则 \(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}\).

\(\lambda-\pi\) 系

\(\pi\) 系

称 \(\Omega\) 的子集类 \(\Pi\) 称为 \(\pi\) 系, 如果它对交运算封闭.

\(\lambda\) 系

称 \(\Omega\) 的子集类 \(\Lambda\) 称为 \(\lambda\) 系, 如果:

\(\Omega\in\Lambda\);
对真差封闭: 即 \(\forall~A,B\in\Lambda\), s.t. \(A\subset B\), 总有 \(B\backslash A\in\Lambda\);
对不降序列的并封闭: 即 \(\{A_n:n\in\mathbf{N}\}\), \(A_n\uparrow\), 则 \(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\in\Lambda\).

集合形式的单调类定理

引理: \(\lambda+\pi=\sigma\)

若 \(\Omega\) 子集类 \(\mathcal{C}\) 同时为 \(\lambda\) 系和 \(\pi\) 系, 则 \(\mathcal{C}\) 为 \(\sigma\) 代数.

证明: 首先, 由 \(\mathcal{C}\) 为 \(\lambda\) 系可知 \(\Omega\in\mathcal{C}\), 且 \(\forall~A\in\mathcal{C}\), 均有 \(A\subset\Omega\), 于是 \(A^c=\Omega\backslash A\in\mathcal{C}\). 另一方面, 取 \(A_n\in\mathcal{C}\), \(n\in\mathbf{N}\) 则 \(B_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_k\), \(n\in\mathbf{N}\) 是不降集列, 于是由 \(A_k^c\in\mathcal{C}\) 以及 \(\mathcal{C}\) 是 \(\pi\) 系, 可知 \(B_n^c=\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_k^c\in\mathcal{C}\).

于是 \(B_n\in\mathcal{C}\), 由定义知, \(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{C}\), 于是 \(\mathcal{C}\) 为 \(\sigma\) 代数.

单调类定理

设 \(\Omega\) 的子集类 \(\mathcal{C}\) 是 \(\pi\) 系, \(\Lambda(\mathcal{C})\) 是包含 \(\mathcal{C}\) 的最小 \(\lambda\) 系, 则 \(\Lambda(\mathcal{C})=\sigma(\mathcal{C})\).

证明: 由于 \(\sigma\) 代数一定是 \(\lambda\) 系, 故 \(\sigma(\mathcal{C})\) 为 \(\lambda\) 系, 由 \(\Lambda(\mathcal{C})\) 的最小性, 有 \(\sigma(\mathcal{C})\supset\Lambda(\mathcal{C})\).

于是只需要证明 \(\sigma(\mathcal{C})\subset\Lambda(\mathcal{C})\), 由 \(\sigma(\mathcal{C})\) 的最小性, 只需要证明 \(\Lambda(\mathcal{C})\) 为 \(\sigma\) 代数. 又由于 \(\Lambda(\mathcal{C})\) 为 \(\lambda\) 系, 故只需要证明 \(\Lambda(\mathcal{C})\) 为一个 \(\pi\) 系.

即只需证明 \(\forall~A, B\in\Lambda(\mathcal{C})\), \(A\cap B\in\Lambda(\mathcal{C})\).

令 \(\Lambda_A=\{B\in\Lambda(\mathcal{C}): A\cap B\in\Lambda(\mathcal{C})\}\), 则只需证明 \(\forall~A\in\Lambda(\mathcal{C})\), 有 \(\Lambda_A=\Lambda(\mathcal{C})\) 即可. 由于显然有 \(\Lambda_A\subset\Lambda(\mathcal{C})\), 故只需要证明 \(\Lambda_A\supset\Lambda(\mathcal{C})\).

考虑到 \(\Lambda(\mathcal{C})\) 的最小性, 可按照如下三步证明:

\(\forall~A\in\Lambda(\mathcal{C})\), \(\Lambda_A\) 是 \(\lambda\) 系;
\(\forall~A\in\mathcal{C}\), \(\Lambda_A=\Lambda(\mathcal{C})\);
\(\forall~A\in\Lambda(\mathcal{C})\), \(\Lambda_A=\Lambda(\mathcal{C})\).

证明第一条:

由 \(\Lambda_A\) 的定义, \(\Omega\in\Lambda_A\);
\(\forall~B, C\in\Lambda_A\), s.t. \(B\subset C\), 则由 \(\Lambda_A\) 的定义有 \(A\cap C,A\cap B\in\Lambda(\mathcal{C})\), 同时易得 \(A\cap B\subset A\cap C\). 由于 \(\Lambda(\mathcal{C})\) 是 \(\lambda\) 系, 故对真差封闭, 即 \(A\cap(C\backslash B)=(A\cap C)\backslash(A\cap B)\in\Lambda(\mathcal{C})\), 于是 \(C\backslash B\in\Lambda_A\);
\(\forall~\{A_n\}\subset\Lambda_A\), \(A_n\uparrow\), 则 \(A\cap A_n\in\Lambda(\mathcal{C})\) 且 \(A\cap A_n\uparrow\). 因此有 \(A\cap(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\bigcup_{n=1}^\infty(A\cap A_n)\in\Lambda(\mathcal{C})\).

于是 \(\forall~A\in\Lambda(\mathcal{C})\), \(\Lambda_A\) 是 \(\lambda\) 系.

证明第二条: 只需要证明 \(\Lambda_A\supset\mathcal{C}\). \(\forall~B\in\mathcal{C}\), 由于 \(\mathcal{C}\) 是 \(\pi\) 系, 故 \(A\cap B\in\mathcal{C}\subset\Lambda(\mathcal{C})\), 于是 \(\mathcal{C}\subset\Lambda_A\).

证明第三条: 仍然只需要证明 \(\mathcal{C}\subset\Lambda_A\). 即需要证明 \(\forall~B\in\mathcal{C}\), \(B\in\Lambda_A\). 由于此时 \(A\) 不一定在 \(\mathcal{C}\) 中, 故无法对 \(A\) 使用第二条中的方法. 但由于 \(B\in\mathcal{C}\), 故可以对 \(B\) 使用第二条中使用的方法, 操作如下:

取 \(A\in\Lambda(\mathcal{C})\), 则 \(\forall~B\in\mathcal{C}\), 由上条可知 \(A\in\Lambda_B\), 又由 \(\Lambda_B\) 的定义可知 \(A\cap B\in\Lambda(\mathcal{C})\), 于是由 \(\Lambda_A\) 的定义, \(B\in\Lambda_A\), 于是 \(\mathcal{C}\subset\Lambda_A\).

综上所述, 原命题得证.

\(\lambda-\pi\) 系方法

在定理的证明过程中, “要证明一些元素的集合满足性质 \(p\), 就先把满足性质 \(p\) 的元素集合设出来, 再证明该集合与原集合相等” 的方法常常按照如下方法操作:

已知 \(\mathcal{C}\) 中元素具有性质 \(p\), 要证明 \(\sigma(\mathcal{C})\) 中元素也具有性质 \(p\), 则可以令 \(\Lambda=\{B\subset\Omega:B\text{具有性质}p\}\), 则 \(\Lambda\supset\mathcal{C}\), 然后证明 \(\mathcal{C}\) 是 \(\pi\) 系, 再证明 \(\Lambda\) 是 \(\lambda\) 系, 即可证明 \(\sigma(\mathcal{C})\) 中元素满足性质 \(p\).

这样的方法称为 \(\lambda-\pi\) 系方法.

\(\lambda-\pi\) 系方法的应用

测度扩张定理的证明

证明见《测度与概率》（严士健、刘秀芳. 北京师范大学出版社.）P66-67 部分. 不再赘述.

\(\pi\) 系上的有限测度

设 \(\mu,\nu\) 是可测空间 \((\Omega,\mathcal{F})\) 上的两个有限测度, \(\mathcal{C}\) 为 \(\pi\) 系, \(\Omega\in\mathcal{C}\) 且 \(\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{F}\). 若 \(\mu, \nu\) 在 \(\mathcal{C}\) 上一致, 则 \(\mu,\nu\) 在 \(\mathcal{F}\) 上也一致.

分析: 　　\(\mathcal{C}\subset\Lambda\), 要证明 \(\sigma(\mathcal{C})\subset\Lambda\), 考虑到 \(\mathcal{C}\) 为 \(\pi\) 系, 显然此处适用单调类定理.

证明: 　　故证明 \(\Lambda\) 是 \(\lambda\) 系即可. 由单调类定理即得 \(\mathcal{F}\subset\Lambda\).

另一形式的单调类定理

　\(\Omega\) 的子集类 \(\mathscr{M}\) 称为 \(\Omega\) 的单调类, 如果它满足:

对不降集列的并封闭: 即 \(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\uparrow\subset\mathscr{M}\), 有 \(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\in\mathscr{M}\);

对不降集列的并封闭: 即 \(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\downarrow\subset\mathscr{M}\), 有 \(\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n\in\mathscr{M}\); 若 \(\mathscr{A}\) 为 \(\Omega\) 的集代数, 记包含 \(\mathscr{A}\) 的最小单调类为 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 则 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})=\sigma(\mathscr{A})\). 因而包含 \(\mathscr{A}\) 的单调类必定包含 \(\sigma(\mathscr{A})\).

分析: 　　先证明两个命题:

　　1. 若 \(\mathscr{A}\) 同时为集代数和单调类, 则 \(\mathscr{A}\) 是 \(\sigma\) 代数; 　　2. \(\Omega\) 的任意子集类 \(\mathcal{C}\) 上的最小单调类存在.

其中第2条保证了单调类的 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\) 存在, 进而可利用第1条进行证明:

　　显然 \(\sigma(\mathscr{A})\) 是单调类, 故 \(\sigma(\mathscr{A})\supset\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 故只需证 \(\sigma(\mathscr{A})\subset\mathfrak{M}(\mathscr{A})\);

　　为此只需证明 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\) 为包含 \(\sigma(\mathscr{A})\) 的\(\sigma\) 代数, 由命题 2, 只需证明 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\) 为集代数;

　　显然有 \(\Omega\in\mathscr{A}\subset\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 故只需证明 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\) 对差运算封闭.

接下来便是 \(\lambda-\pi\) 证明的标准技巧: 　　令 \(M_A=\{B:B\in\mathfrak{M}(\mathscr{A}), A-B,B-A\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\}\), 接下来分三步证明:

证明 \(M_A\) 是单调类, \(\forall A\);
\(\forall A\in\mathscr{A}\), \(M_A=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\);
\(\forall A\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), \(M_A=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\).

以上即为证明思路.

证明: 　　先证明两个引理.

引理 1 若 \(\mathscr{A}\) 为 \(\Omega\) 的集代数且是单调类, 则 \(\mathscr{A}\) 为 \(\sigma\) 代数.

引理 1的证明: 　　只需证明对于可列并封闭: 对 \(\forall \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathscr{A}\) 构造部分和集列 \(B_n=\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\) 即可.

引理 2 \(\Omega\) 的任意子集类 \(\mathcal{C}\) 上的最小单调类存在.

引理 2的证明:

　　首先证明非空: \(\Omega\) 的全体子集 \(\mathcal{C}\subset\mathscr{P}(\Omega)\) 显然构成单调类, 故非空;

　　其次构造出来: 取包含 \(\mathcal{C}\) 的所有单调类的交, 容易验证该集类是一个单调类.

　　综上, 包含 \(\mathcal{C}\) 的最小单调类存在且为所有包含 \(\mathcal{C}\) 的单调类的交.

由这两个引理即可证明定理:

　　令 \(M_A=\{B:B\in\mathfrak{M}(\mathscr{A}), A-B,B-A\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\}\), 只需证明 \(M_A=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), \(\forall A\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\). 接下来分三步证明:

证明 \(M_A\) 是单调类, \(\forall A\);
\(\forall A\in\mathscr{A}\), 证明 \(M_A=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\);
\(\forall A\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 证明 \(M_A=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\). 　　 1. 证明 \(M_A\) 是单调类, \(\forall A\) 　　取 \(A\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), \(\forall\{B_n\}_{n\in\mathbb{N}}\uparrow\subset M_A\), 由 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\) 的定义即有 \(A-B_n,B_n-A,B_n\in\), 同时显然有 \(B_n-A\uparrow\), \(A-B_n\downarrow\). 由于 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\) 是单调类, 故 \(\bigcup\limits_{n=1}^\infty B_n\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\).

　　同时还有: \[ \begin{align} A-\bigcup\limits_{n=1}^\infty B_n &= A\cap\left(\bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n^c\right) \\ &= \bigcap_{n=1}^\infty (A\cap B_n^c) \\ &= \bigcap_{n=1}^\infty (A-B_n) \in\mathfrak{M}(\mathscr{A})~; \\ \left(\bigcup\limits_{N=1}^\infty B_n\right)-A &= \bigcup\limits_{n=1}^\infty (B_n-A)\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})~. \end{align} \] 　　于是有 \(\bigcup\limits_{n=1}^\infty B_n\in M_A\), 即 \(M_A\) 对上升集列的并封闭.

　　同理可证 \(M_A\) 对下降集列的交也封闭. 即 \(M_A\) 是单调类.

2. \(\forall A\in\mathscr{A}\), 证明 \(M_A=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\)

　　若 \(A\in\mathscr{A}\), 则对 \(\forall B\in\mathscr{A}\), 有 \(A-B,B-A\in\mathscr{A}\subset\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 由 \(M_A\) 的定义知 \(B\in M_A\), 即 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\subset M_A\).

　　另一方面, 由上条知 \(M_A\) 为包含 \(\mathscr{A}\) 的单调类, 故 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\subset M_A\), 故有 \(M_A=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\).

3. \(\forall A\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 证明 \(M_A=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\)

　　考虑 \(B\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 则对 \(\forall A\in\mathscr{A}\), 由上条知 \(M_A=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 于是 \(B\in M_A\). 进一步由 \(M_A\) 的定义有 \(B-A,A-B\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\).

　　又由于 \(\mathscr{A}\subset\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 故 \(A\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 结合 \(M_B\) 的定义有 \(A\in M_B\).

　　即 \(\forall A\in\mathscr{A}\), 总有 \(A\in M_B\). 于是 \(\mathscr{A}\subset M_B\). 即 \(M_B\) 是包含 \(\mathscr{A}\) 的单调类, 于是 \(\mathfrak{M}(\mathscr{A})\subset M_B\).

　　结合 \(M_B\subset \mathfrak{M}(\mathscr{A})\), 即有 \(M_B=\mathfrak{M}(\mathscr{A})\), \(\forall B\in\mathfrak{M}(\mathscr{A})\). 　　 综上所述, 若 \(\mathscr{A}\) 为集代数, 则包含 \(\mathscr{A}\) 的最小 \(\sigma\) 代数与包含 \(\mathscr{A}\) 的最小单调类相同.

函数形式的单调类定理

\(\mathscr{L}\) 系

设 \(\mathscr{L}\) 是定义在 \(\Omega\) 上的广义实函数类, 满足: \(f\in\mathscr{L}\Rightarrow f^+,f^-\in\mathscr{L}\). 函数族 \(L\) 称为 \(\mathscr{L}\) 系, 如果满足:

\(1\in L\);
\(L\) 中有限个函数的线性组合(如果有意义)属于 \(L\);
若 \(f_n\in L\), \(n\in\mathbb{N}\), \(0\leqslant f_n\uparrow f\), \(f\) 有界或 \(f\in\mathscr{L}\), 则 \(f\in L\).

单调类定理

若 \(\mathscr{L}\) 系 \(L\) 包含一 \(\pi\) 系 \(\mathcal{C}\) 中任意集合的示性函数, 则 \(L\) 包含所有属于 \(\mathscr{L}\) 的 \(\sigma(\mathcal{C})\) 可测函数.

证明:

　　令 \(\Lambda=\{A\subset\Omega: I_A\in L\}\), 则由 \(\mathscr{L}\) 系定义可知 \(\Omega\in\Lambda\), \(\Lambda\) 对真差封闭并且对不降集列的并封闭, 因而 \(\Lambda\) 为 \(\lambda\) 系. 又由于 \(\mathcal{C}\subset\Lambda\), 且 \(\mathcal{C}\) 为 \(\pi\) 系, 结合集合形式的单调类定理可知 \(\sigma(\mathcal{C})\subset\Lambda\), 故 \(\{I_A: A\in\sigma(\mathcal{C})\}\subset L\). 由定义可知 \(\sigma(\mathcal{C})\) 上的任意简单函数在 \(L\) 中.

　　设 \(f\) 为 \(\mathscr{L}\) 中非负 \(\sigma(\mathcal{C})\) 可测函数, 则存在非负不降 \(\sigma(\mathcal{C})\) 简单函数列 \(f_n\uparrow f\). 由于 \(L\) 是 \(\mathscr{L}\) 系, 故 \(f\in L\).

　　若 \(f\in\mathscr{L}\) 且 \(\sigma(\mathcal{C})\) 可测, 则由 \(\mathscr{L}\) 的定义可知 \(f^+,f^-\in\mathscr{L}\) 且非负 \(\sigma(\mathcal{C})\) 可测, 于是 \(f^+,f^-\in L\), 结合 \(f=f^+-f^-\) 有意义及定义可知 \(f\in L\). 定理得证.

\(\mathscr{L}\) 系方法

要想证明某一函数族 \(F\) 具有某种性质 \(p\), 为此设一个函数族 \(\mathscr{L}\), s.t. \(L=\{f: 函数 f 具有性质 p\}\) 为一个 \(\mathscr{L}\) 系. 再引入一个 \(\pi\) 系 \(\mathcal{C}\), s.t. \(\mathscr{L}\) 中的 \(\sigma(\mathcal{C})\) 可测函数类包含 \(F\).

以上两步完成之后, 由单调类定理, 只要证明 \(\forall A\in\mathcal{C}\), \(I_A\in L\) 即可. 这种方法被称为 \(\mathscr{L}\) 系方法.