- 2016 高等代数二 期中 刘玉明
- 2016 高等代数二 期末 刘玉明
2016 高等代数二 期中 刘玉明
以下各题中, 所指的向量空间都是有限的.
假设域 \(F\) 上的2维向量空间 \(V\) 有一组基 \(v_1,v_2\). 设 \(\sigma:V\rightarrow V\) 是一个线性变换, 且满足 \(\sigma(v_1)=0\), \(\sigma(v_2)=v_1\). 证明: 如果 \(W\) 是 \(V\) 的一个 \(\sigma\)-不变子空间, 则或者 \(W=0\), 或者 \(W\) 是由 \(v_1\) 生成的1维子空间, 或者 \(W=V\).
设 \(V\) 是域 \(F\) 上的向量空间, \(W\) 是 \(V\) 的一个子空间. 证明: 存在 \(V\) 的子空间 \(W'\), s.t. \(V=W\oplus W'\).
判断下列域 \(F\) 上的 \(n\) 阶方阵 \(A\) 能否对角化, 并说明理由.
\(A\) 满足 \(A\neq 0\), \(A^2=0\).
\(A\) 满足 \(A^2=A\).
设 \(\sigma:V\rightarrow V'\) 是一个线性映射. 证明 \(\sigma\) 诱导出向量空间的同构 \[\overline{\sigma}:V/\ker\sigma \xrightarrow{\sim} {\rm Im}\sigma,\quad v+\ker\sigma\mapsto\sigma(v).\]
试用向量组的线性相关性理论证明线性方程组有解的判别准则.
2016 高等代数二 期末 刘玉明
- (20分)设 \(\alpha\) 为 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中的一个单位向量, 定义映射 \[\sigma_\alpha:~V\longrightarrow V,\quad\xi\longmapsto\xi-2(\xi,\alpha)\alpha.\]
- 证明 \(\sigma_\alpha\) 为一个正交变换. 这样的正交变换称为由 \(\alpha\) 定义的镜面反射.
- 证明: 存在 \(V\) 的规范正交基, 使得 \(\sigma_\alpha\) 在这组基下的矩阵为: \[\begin{bmatrix}-1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \\ \end{bmatrix}\]
(10分)设 \(A\) 是3阶实对称矩阵，\(A\) 的特征值为0, 3, 3. 已知 \(\xi_1=(1,1,1)^T,~\xi_2=(-1,1,0)^T\) 分别是属于特征值0和3的特征向量. 求属于特征值3的与 \(\xi_2\) 线性无关的另一个特征向量 \(\xi_3\).
- (20分)设3元实二次型 \[q(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3.\]
- 求 \(q\) 的秩和正惯性指数.
- 求一个正交替换，将 \(q\) 化为典范形.
- (20分)设矩阵 \[A=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\]
- 分别求 \(A\) 的特征多项式和最小多项式.
- 矩阵 \(A\) 能否对角化？如不能, 求出它的若尔当标准型.
(15分)设 \(q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\) 是一实二次型, 其中 \(A=(a_{ij})\) 是 \(n\) 阶实对称矩阵. 设 \(\lambda\) 与 \(\mu\) 分别是 \(A\) 的最大与最小特征值. 证明: 对于 \(\mathbf{R}^n\) 中任一列向量 \(\alpha\), 有 \[\mu|\alpha|^2\leqslant\alpha^TA\alpha\leqslant\lambda|\alpha|^2.\]
(15分)证明: 如果 \(A\) 和 \(B\) 都是 \(n\) 阶实对称矩阵, 并且 \(A\) 正定, 那么存在 \(n\) 阶实可逆矩阵 \(P\), 使得 \(P^TAP\) 和 \(P^TBP\) 都是对角矩阵.
简略解答
- 一定记得先验证它是一个线性变换, 再验证其正交性, 否则会丢掉4分.
- 早就不记得了, 其余全略.