北京师范大学近世代数试卷

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2015 期末试题 刘玉明

  1. (20分) \(\mathbb{Z}_n=\{[0],[1],\cdots,[n-1]\}\) 表示模 \(n\) 的剩余类加群.
    1. 写出 \(\mathbb{Z}_4\) 的加法运算表.
    2. 写出 \(\mathbb{Z}_6\) 的所有子群.
    3. \(\mathbb{Z}_7\) 有几个子群?
    4. \(\mathbb{Z}_{28}\) 有几个 \(7\) 阶元?
  2. (20分) \(\mathbb{Z}_n^*=\{[a]\in\mathbb{Z}_n~|~a~与~n~互素\}\).
    1. 证明: \(\mathbb{Z}_n^*\) 关于乘法 \([a][b]=[ab]\) 构成一个阿贝尔群.
    2. 求 \([3]\) 在 \(\mathbb{Z}_8^*\) 以及 \([5]\) 在 \(\mathbb{Z}_{13}^*\) 中的逆元.
  3. (15分) 用 \(S_5\) 表示 \(5\) 次对称群.
    1. \(\sigma=(12345)\) 是 \(S_5\) 中的几阶元?
    2. \(S_5\) 中与 \(\sigma\) 共轭的元素有几个?
    3. 写出循环群 \(\langle\sigma\rangle\) 中的所有元素. \(\langle\sigma\rangle\) 是不是 \(S_5\) 的正规子群?
  4. (20分)
    1. 写出整数环 \(\mathbb{Z}\) 的所有极大理想.
    2. 写出模 \(18\) 的剩余类环 \(\mathbb{Z}_{18}\) 的所有极大理想.
    3. \(x^2+1\) 是否是 \(\mathbb{Z}_3[x]\) 中的不可约多项式?
    4. \(\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle\) 是怎样的环?
  5. (15分) 用 \(R\) 表示环 \(\mathbb{Z}[i]/\langle 1+3i \rangle\), 其中 \(\mathbb{Z}[i]\) 表示高斯整环, 证明:
    1. 在 \(R\) 中, \([i]=[3]\), \([10]=[0]\), \([a+bi]=[a+3b]\), \(\forall a, b\in\mathbb{Z}\).
    2. \(\varphi:\mathbb{Z}\to R~(a\mapsto [a])\) 是环的满同态.
    3. \(\ker\varphi=10\mathbb{Z}\). 从而 \(R=\mathbb{Z}_{10}\).
  6. (10分)
    1. 设 \(E=F(\alpha)\) 是域 \(F\) 的单超越扩域, \(\beta\in E\backslash F\). 证明: \(\alpha\) 是 \(F(\beta)\) 上的代数元.
    2. 证明或否定一下命题: 设 \(E/F\) 是域扩张, \(\alpha\in E\), \(m,n\in\mathbb{Z}^+\). 如果 \(\alpha\) 是 \(F\) 上 \(n\) 次代数元, 且 \(m\) 与 \(n\) 互素, 那么 \(\alpha^m\) 也是 \(F\) 上的 \(n\) 次代数元, 且 \(F(\alpha^m)=F(\alpha)\).

2016 期中试题 胡维 刘玉明

  1. (10分) 用 \(S_4\) 代表4次对称群. 按共轭类写出 \(S_4\) 的全部元素.

  2. (10分)
    1. 循环群 \(\mathbb{Z}_{28}\) 中的7阶元有几个?
    2. \(\mathbb{Z}_{28}\) 有几个7阶子群?
  3. (15分) 令 \(\varphi:(\mathbb{R},+)\longrightarrow (\mathbb{C}^\times,\cdot)\) 是由 \(\varphi(x)=e^{ix}\) 定义的函数, 其中 \((\mathbb{R},+)\) 和 \((\mathbb{C}^\times,+)\) 分别代表实数的加法群和非零复数的乘法群.
    1. 证明: \(\varphi\) 是一个群同态.
    2. 求 \(\ker\varphi\) 和 \({\rm Im}~\varphi\).
    3. 根据同态基本定理, 你能得到什么结论?

  4. (15分) 应用群作用证明: 8阶群的中心至少有两个元素.

  5. (10分) 求下列环中的(乘法)可逆元:
    1. 模8的剩余类环 \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\).
    2. 高斯整环 \(\mathbb{Z}[i]\).
  6. (20分)
    1. \(\mathbb{Z}_{10}\) 与 \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_5\) 作为环同构吗? 为什么?
    2. \(\mathbb{Z}_9\) 与 \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3\) 作为环同构吗? 为什么?
  7. (20分)
    1. 利用环的同态基本定理证明: \(\mathbb{Z}[x]/\langle x^2+1\rangle\cong\mathbb{Z}[i]\).
    2. \(\langle x^2+1 \rangle\) 是 \(\mathbb{Z}[i]\) 的素理想吗? 是极大理想吗?

2016 期末试题 胡维 刘玉明

  1. (20分) 整数集 \(\mathbb{Z}\) 关于普通加法构成有理数集 \(\mathbb{Q}\) 的子群. 任取 \(q\in\mathbb{Q}\), 用 \([q]=q+\mathbb{Z}\) 表示商群 \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) 中对应的元素.
    1. 写出商群 \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) 的单位元.
    2. 求元素 \([\frac{9}{4}]\) 在群 \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) 的阶.
    3. 证明: 群 \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) 中每个元素的阶都有限.
    4. \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) 是不是循环群? 为什么?
  2. (15分) 下列三个群互相同构吗? 说明理由. 其中, \(A_4\) 代表4次交错群, \(\mathbb{Z}_{12}\) 代表模12的剩余类加群, 等等.
    1. \(\mathbb{Z}_{12}\).
    2. \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\). (群的外直积)
    3. \(A_4\).

  3. (10分) 设 \(G\) 是一个群, 任取 \(x\in G\), 称 \(C_x=\{gxg^{-1}|g\in G\}\) 为元素 \(x\) 所在的共轭类. 每个共轭类 \(C_x\) 中所含元素的个数一定整除群的阶 \(|G|\), 为什么?

  4. (20分) 令 \(\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in\mathbb{Z}\}\) 代表高斯整环. 在 \(\mathbb{Z}[i]\) 中定义范数如下: \[N(a+bi)=a^2+b^2.\]
    1. 求出 \(\mathbb{Z}[i]\) 中的所有单位 (即乘法可逆元).
    2. 求出 \(\mathbb{Z}[i]\) 的商域.
    3. 素数2是 \(\mathbb{Z}[i]\) 中的逆元吗? 为什么?
    4. 有人说, \(\mathbb{Z}[i]\) 中的非零素理想也是极大理想. 你认为对吗? 为什么?
  5. (10分) 设 \(E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 的扩域.
    1. 求扩域的次数 \([E:\mathbb{Q}]\).
    2. 证明: \(E=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+i)\).
  6. (20分) 考虑有限域 \(\mathbb{Z}_3\) 上的不可约多项式 \(p(x)=x^2+x-1\).
    1. 设 \(\alpha\) 是 \(p(x)\) 在它的分裂域中的一个根. 单扩域 \(\mathbb{Z}_3(\alpha)\) 是 \(\mathbb{Z}_3\) 上的几次扩域?
    2. 写出 \(\mathbb{Z}_3(\alpha)\)作为 \(\mathbb{Z}_3\) 上的向量空间的一组基.
    3. 用这组基表达 \(\alpha\) 和 \(1+\alpha\) 在 \(\mathbb{Z}_3(\alpha)\) 中的逆元.
    4. 证明: \(p(x)\) 整除 \(x^9-x\) (在 \(\mathbb{Z}_3[x]\) 中).

  7. (5分) 考虑81元域 \(F\) 的非零元乘法群 \(F^\times\). 设 \(\alpha\) 是 \(F^\times\) 的生成元. 证明: \(\alpha^{40}=-1\).