北京师范大学实变函数试卷

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  • 2016-2017学年第二学期期中考试 李俊峰

2016-2017学年第二学期期中考试 李俊峰

  1. (15分) 设 \(\{E_k\}\) 是 \([0,1]\) 中的可测集列, \(m(E_k)=1~(k=1,2,\cdots)\), 试证明 \[m\left(\bigcap_{k=1}^\infty E_k\right)=1.\]

  2. (15分) 试证明点集 \(E\) 可测的充分必要条件是: 对于任给的 \(\epsilon>0\), 存在开集 \(G_1,G_2\): \[G_1\supset E,\quad G_2\supset E^C\] 使得 \(m(G_1\cap G_2)<\epsilon\).

  3. (15分) 设 \(E\subset \mathbb{R}\) 上可测函数列 \(\{f_k(x)\}\) 满足 \[f_k(x)\geqslant f_{k+1}(x),(k=1,2,\cdots).\] 若 \(f_k\) 在 \(E\) 上依测度收敛到0, 试问 \(f_k\) 在 \(E\) 上是否几乎处处收敛到0.

  4. (15分) 设 \(f(x)\) 是 \((0,1)\) 上的非负可测函数, 若存在 \(c\) 使得 \[\int\nolimits_{[0,1]}[f(x)]^ndx=c,(n=1,2,\cdots)\] 试证明存在非负可测集 \(E\subset(0,1)\), s.t. \(f(x)=\chi_E(x)\), a.e. 若 \(f(x)\) 不是非负的, 结论又如何?

  5. (15分) 设 \(f\in L(0,a)\), \(g(x)=\int\nolimits_x^a \frac{f(t)}{t}dt\), \(a>x>0\). 试证明 \(g\in L(0,a)\), 且有 \[\int\nolimits_0^a g(x)dx=\int\nolimits_0^a f(x)dx.\]

  6. (15分) 设 \(f\in L^2(0,\infty)\), 且 \(f\geqslant 0\). 设 \(F(x)=\int\nolimits_0^x f(t)dt\), 试证明 \[F(x)=o(\sqrt{x})~(x\to0,x\to\infty).\]

  7. (10分) 设 \(f\in L^1(\mathbb{R}^n)\), 对 \(x\in\mathbb{R}^n\), 称 \[\hat{f}(x)=\int\nolimits_{\mathbb{R}^n} f(t)e^{-2\pi x\cdot t}dx\] 为 \(f\) 的Fourier变换. 请验证以下几个性质:
    1. \(||\hat{f}||_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}\leqslant ||f||_{L^1(\mathbb{R}^n)}\).
    2. \(\hat{f}\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 上一致连续.
    3. \(\lim\limits_{|x|\to\infty}\hat{f}(x)=0\). (提示: 计算阶梯函数的Fourier变换, 再应用阶梯函数在 \(L^1(\mathbb{R}^n)\) 的稠密性).

记号说明: \(x,t\in\mathbb{R}^n\), 那么 \(x\cdot t=x_1t_1+x_2t_2+\cdots+x_nt_n\). 欧拉公式: \[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.\]