大致分为两部分:
- 多值函数解析分支的定义;
- 多值函数解析分支的讨论.
多值函数解析分支的定义
解析分支定义
DEFINITION 1. 设 \(\Omega\) 为区域, \(\mathbf{F}(z)\) 为 \(\Omega\) 上的多值函数, 如果 \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 解析, 且对 \(\forall z\in\Omega\), 有 \(f(z)\in\mathbf{F}(z)\), 则称 \(f\) 为 \(\mathbf{F}\) 在 \(\Omega\) 上的解析分支.
多值函数的本质
这里的论述可能不太严格.
考虑复数的三角式: \[z=\vert z\vert e^{i~{\rm arg}~z}.\] 由于 \(e^{2\pi i}=1\), 故 \(\vert z\vert e^{i~{\rm arg}~z}=\vert z\vert e^{i~({\rm arg}~z+2k\pi)}\). 即 \(z\) 的辐角 \(\mathbf{Arg}~z\) 是一个多值函数.
由于辐角函数是一个多值函数, 这就导致了多值函数的存在. 多值函数的不同解析分支实际上也对应了 \(\mathbf{Arg}~z\) 的不同取值.
辐角函数的连续分支
PROPOSITION 1. 设 \(\Omega\) 为单连通区域, \(z_0\notin\Omega\), 则 \(\mathbf{Arg}~(z-z_0)\) 在区域 \(\Omega\) 上有连续分支 \({\rm arg}~(z-z_0)\), 且 \(\mathbf{Arg}~(z-z_0)\) 在 \(\Omega\) 上的所有连续分支如下: \[\mathbf{Arg}~(z-z_0)=\{ {\rm arg}~(z-z_0)+2k\pi:k\in\mathbb{Z}\}.\] 于是 \(\mathbf{Arg}~(z-z_0)\) 在 \(\Omega\) 内有无穷多个连续分支.
几个解析分支的例子
对数函数的解析分支
THEOREM 1. 设 \(\Omega\) 为单连通区域, \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 中解析且处处不为零, 则 \(\mathbf{Ln}~f(z)\) 在 \(\Omega\) 有解析分支 \(g(z)\), s.t. \[e^{g(z)}=f(z),\] 且 \(\mathbf{Ln}~f(z)\) 在 \(\Omega\) 上所有的解析分支都具有形式 \(g(z)+2k\pi i\), 即: \[\mathbf{Ln}~f(z)=\{g(z)+2k\pi i:k\in\mathbb{Z}\}.\] 即 \(\mathbf{Ln}~f(z)\) 在 \(\Omega\) 有无穷多个解析分支.
简略证明:
从三角式的角度考虑非常显然:
\[\begin{align}
{\bf Ln}~(z) &= \{\ln~(\vert z\vert e^{i~({\rm arg}~z+2k\pi)})\} \\
&= \{\ln~\vert z\vert+ i({\rm arg}~z+2k\pi)\} \\
&= \{\ln\vert z\vert +i~{\rm arg}~z+2k\pi i:k\in\mathbb{Z}\}.
\end{align}\]
幂函数的解析分支
解析函数 \(n\) 次方根的解析分支
THEOREM 2. 设 \(n\geqslant 2\in\mathbb{N}\), \(\Omega\) 为单连通区域, \(z_0\notin\Omega\), \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 中解析且处处不为零, 则 \((f(z))^\frac{1}{n}\) 在 \(\Omega\) 上有解析分支 \(g(z)\), 其所有解析分支为 \(g(z)e^{\frac{2k\pi i}{n}}\). 即: \[(f(z))^\frac{1}{n}=\{g(z)e^{\frac{2k\pi i}{n}}: k=0,1,\cdots,n-1\}.\] 即 \((f(z))^\frac{1}{n}\) 在 \(\Omega\) 有 \(n\) 个解析分支.
简略证明:
从三角式的角度考虑也是非常显然的. 细节略去.
- 解析函数 \(n\) 次方根的解析分支可进一步推广为幂函数的解析分支. 懒得细写了, 以后再说.
幂函数的解析分支
再说吧..
三角函数
三角函数
只讨论 \(\sin\) 和 \(\cos\):
- \(2i\sin z=e^{iz}-e^{-iz}\), \(2\cos z=e^{iz}+e^{-iz}\).
- \(\sin\), \(\cos\) 在复平面上都是解析的. 更一般地, 所有三角函数在有意义的点都是解析的.
- \(\sin\) 和 \(\cos\) 都以 \(2\pi\) 为周期.
- \(\sin z\) 的零点为 \(z=n\pi~n\in\mathbb{Z}\).
- \(\cos z\) 的零点为 \(z=(n+\frac{1}{2})\pi~n\in\mathbb{Z}\).
- 大部分实数中的结论(如导数, 三角恒等式)都仍然适用.
双曲函数
只讨论 \(\sinh z\) 和 \(\cosh\):
- \(\sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\), \(\cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\);
- 由 \(e^{z}\) 的周期性, 二者都以 \(2\pi i\) 为周期.
反三角函数
反三角函数是多值函数.
DEFINITION 2. 反三角函数定义如下:
反正弦函数: \[{\bf Arcsin}~z=\{w\in\mathbb{C}:\sin w=z\};\] 反余弦函数: \[{\bf Arccos}~z=\{w\in\mathbb{C}:\cos w=z\};\] 反正切函数: \[{\bf Arctan}~z=\{w\in\mathbb{C}:\tan w=z\};\]
有如下表示:
PROPOSITION 2. 反三角函数有如下表示: \[ \begin{align} {\bf Arcsin}~z &= -i{\bf Ln}(iz+(1-z^2)^\frac{1}{2}), \\ {\bf Arccos}~z &= -i{\bf Ln}(z+(1-z^2)^\frac{1}{2}), \\ {\bf Arctan}~z &= \frac{1}{2i}{\bf Ln}~\frac{1+iz}{1-iz}. \end{align} \]