解析函数的积分与Cauchy高阶求导公式.
单连通情形的Cauchy定理
Goursat定理
THEOREM 1. 设 \(\Omega\) 是一个单连通区域, \(f(z)\) 在其中解析, 则 \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 中有原函数且对全在 \(\Omega\) 中的任意Jordan闭分段光滑曲线, 都有 \[\int_Cf(z){\rm d}z=0.\]
Cauchy高阶求导公式
THEOREM 2. 设 \(\Omega\) 是一个单连通区域, \(C\) 是全在 \(\Omega\) 中的闭Jordan分段光滑曲线, \(C\) 所围区域是 \(\omega\). 如果 \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 内解析, 则如下Cauchy公式 \[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z){\rm d}z}{z-z_0}\quad (z_0\in\omega).\] 成立, 且对 \(\forall m\in\mathbb{Z}^+\), \(f\) 的 \(m\) 阶复导数 \(f^{(m)}(z)\) 在 \(\Omega\) 内存在并解析, 且如下Cauchy求导公式成立 \[f^{(m)}(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z){\rm d}z}{(z-z_0)^{m+1}}\quad (z_0\in\omega,~m\in\mathbb{Z}^+).\]
简略证明:
只证第一式. 设 \(z_0\in\omega\), 则 \(\exists\epsilon_0>-\), s.t. \(\overline{D(z_0,\epsilon_0)}\subset\omega\), 对 \(\forall\epsilon\in(0,\epsilon_0)\), \(\exists\) 有向线段 \([a,b]\in\overline{\omega}\), 其中 \(a\in\partial D(z_0\epsilon_0)\), \(b\in\partial\omega\). 假设 \(b\) 为 \(C\) 的起点和终点, 则 \[[b\to a]\to\partial D(z_0,\epsilon_0)\to[a\to b]\to[C:b\to b]\] 首尾相接构成一条分段光滑曲线.
由于 \(\frac{f(z)}{z-a}\) 在 \(\Omega\backslash\{z_0\}\) 解析, 故 \[\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z+\int_{[a,b]}\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z+\int_{[b,a]}\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z-\int_{\partial D(z_0,\epsilon_0)}\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z=0.\] 从而 \[\int_C \frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z=\int_{\partial D(z_0,\epsilon_0)}\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z=\int_0^{2\pi} f(z_0+\epsilon e^{i\theta})i{\rm d}\theta\to 2\pi if(z_0)~~(\epsilon\to 0).\] 第二式可由数学归纳法证得.
Cauchy积分定理的推广
THEOREM 3. 设 \(C\) 为一条Jordan闭分段光滑曲线, \(\Omega={\rm int}~C\), \(f(z)\) 在闭域 \(\overline{\Omega}=\Omega\cup C\) 解析, 则 \[\int_C f(z){\rm d}z=0.\]
多连通情形的Cauchy定理
多连通情形的Cauchy定理
多连通的情况下, 仍然有如下的Cauchy定理:
THEOREM 4. 设 \(\Omega\) 是由复围线(大圈 \(C_0\) 挖掉 \(n\) 个不相交小圈 \(C_i\)) \[\partial\Omega=C_0+C_1^-+\cdots+C_n^-\] 所围成的有界多连通区域, \(f(z)\) 在 \(\overline{\Omega}\) 中解析, 则 \[\int_{\partial\Omega}f(z){\rm d}z=0.\]
多连通情形的Cauchy求导公式
THEOREM 5. 设 \(\Omega\) 是由复围线(大圈 \(C_0\) 挖掉 \(n\) 个不相交小圈 \(C_i\)) \[\partial\Omega=C_0+C_1^-+\cdots+C_n^-\] 所围成的有界多连通区域, \(f(z)\) 在 \(\overline{\Omega}\) 中解析, 则 \[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta){\rm d}\zeta}{(\zeta-z)^{n+1}}\quad (z\in\Omega,~n\in\mathbb{N}).\]
Cauchy定理的应用
解析函数均值定理
THEOREM 6. 若函数 \(f(z)\) 在圆盘 \(\vert z-z_0\vert<R\) 中解析, 在闭圆盘 \(\vert z-z_0\vert\leqslant R\) 连续, 则 \[f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0+Re^{i\theta}){\rm d}\theta.\] 即在圆心 \(z_0\) 的值为圆周上的平均.
简略证明:
由Cauchy公式, 有 \[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D(z_0,r)} \frac{f(z){\rm d}z}{z-z_0}.\] 其中 \(0<r<R\), 而 \(\partial D(z_0,r)\) 的方程为 \(z=z_0+re^{i\theta},~0\leqslant\theta\leqslant\pi\), 从而 \[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+re^{i\theta})rie^{i\theta}{\rm d}\theta}{re^{i\theta}}.\] 由于 \(f(z)\) 在 \(\overline{D(z_0,R)}\) 一致连续, 故令 \(r\to R\) 即可.
推论: Cauchy不等式
THEOREM 7. 设 \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 内解析, \(a\in\Omega\), 若 \(\overline{D(a,R)}=\{z:\vert z-a\vert\leqslant R\}\subset\Omega\), 则有 \[\vert f^{(n)}(a)\vert\leqslant\frac{n!M(R)}{R^n}\quad (n\in\mathbb{N}),\] 其中 \[M(R)=\max\{\vert f(z)\vert:\vert z-a\vert=R\}.\]
简略证明:
由TH 2. 有: \[
\begin{align}
\vert f^{(n)}(a)\vert &= \left|\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D(a,R)}\frac{f(z){\rm d}z}{(z-a)^{m+1}}\right| \\
&= \left| \frac{n!}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(a+re^{i\theta}){\rm d}\theta}{r^ne^{in\theta}} \right| \\
&\leqslant \frac{n!M(R)}{R^n}. \\
\end{align}
\]
Liouville定理
THEOREM 8. 有界整函数必定是常函数.
简略证明:
设 \(f(z)\) 是有界整函数, 则 \(\exists M>0\), s.t. \[\vert f(z)\vert\leqslant M.\] 任取 \(a\in\mathbb{C}\), 则对 \(\forall R>1\), 由Cauchy不等式有: \[\vert f'(a)\vert\leqslant\frac{M}{R^n}.\] 令 \(R\to\infty\), 则 \(f'(a)=0\), 从而 \(f\) 在 \(\mathbb{C}\) 中为常数.
最大模原理
THEOREM 9. 设函数 \(f(z)\) 在有界区域 \(\Omega\) 解析, 并连续到边界 \(\partial\Omega\) 上. 设 \(M=\max\{\vert f(z)\vert: z\in\overline{\Omega}\}\), 则在 \(\Omega\) 内有 \(\vert f(z)\vert<M\), 除非 \(f(z)=Me^{i\alpha}\). 此处 \(M\), \(a\) 为常数.
- 最大模原理实际上是说: 解析函数必定在边界取最大模.