分为分析, 代数, 几何三部分. 满分200分.
分析部分
四题. 共100分.
- (1.1) (10分) 证明隐函数 \[y+\sin(xy)-x=0\] 在 \(x=0\) 附近可以确定一个函数关系 \(y=f(x)\).
(1.2) (5分) 试简单回答该函数的光滑度(不必证明).
(1.3) (10分) 求 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处的三阶导数 \(f'''(0)\).
- (2.1) (10分) 叙述积分第一中值定理并给出一个几何解释.
(2.2) (10分) 叙述一个函数 \(g(x)\equiv 1\) 另一个函数 \(f(x)\) 单调时的积分第二中值定理(三种情况), 并给出一个几何解释.
(2.3) (5分) 请问上问中函数 \(f(x)\) 的单调性是实质性条件还是技术性条件. 如果是实质性的, 其本质是什么? 如果是技术性的, 在哪些方面提供了方便.
- (25分) 在考虑函数 \(f(x)\) 在给定区间上的Fourier级数 \[\sum a_n\sin nx+b_n\cos nx\] 的收敛性时, \(f(x)\) 的光滑性与级数的收敛速度之间有没有一定的关系? 给出自己的理解和描述.
- (4.1) (10分) 试讨论广义积分 \[\int_\mathbb{R}\frac{\sin x}{x}{\rm d}x\] 的收敛性.
(4.2) (10分) 试讨论广义重积分 \[\iint_D\frac{\sin x}{x}{\rm d}x{\rm d}y,\quad D=\{\mathbb{R}\times[0,1]\}\] 的敛散性.
(4.3) (5分) 请对上述结果做出一个你认为合理且本质的解释.
代数部分
三题, 共70分.
- (20分) 求集合 \[\{A\in M_{7\times 7}(\mathbb{R}): A^3=0\}\] 中矩阵秩的最大值.
- (30分) 设 \(V\) 是有限维实内积空间, \(\alpha_1,\cdots,\alpha_r,\beta_1,\cdots,\beta_r\in V\), 假设存在非零向量 \(\alpha\in V\), s.t. \[\sum\limits_{i=1}^r\langle\alpha,\alpha_i\rangle\beta_i=0.\]证明存在非零向量 \(\beta\in V\), s.t. \[\sum\limits_{i=1}^r\langle\beta,\beta_i\rangle\alpha_i=0.\]
- (30分) 证明对任意 \(3\times 3\) 复矩阵 \(A\), 存在 \(3\times 3\) 酉矩阵 \(U\), s.t. \(UAU^{-1}\) 为形如 \[\begin{bmatrix}*&0&*\\ *&*&0\\ *&0&*\\ \end{bmatrix}\] 的矩阵.
几何部分
一题, 共30分
- (30分) 对于空间仿射坐标系中的马鞍面 \(S: z=xy\), 记 \(G\) 为所有保持 \(S\) 作为点集不变的空间仿射变换构成的群, 试决定空间中所有的直线 \(L\), s.t. 对于任意 \(G\) 中的变换 \(g\), \(g(L)\) 都与 \(L\) 平行或重合.
相比16年，感觉题目肉眼可见地变得开放了一些…然后下一年更加开放（