分为分析, 代数, 几何三部分. 满分200分.
分析部分
- (30分, 每小题15分)
- 若 \(f(x)\) 在实轴可导且 \(f'(x)>f(x)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\), 则 \(f\) 至多有一个零点.
- 若 \(f(x)\) 在实轴可导且 \(f''(x)>f(x)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\), 则 \(f\) 至多有两个零点.
- (30分) 假设 \(\phi(x,y,z)\) 是原点 \(O\) 某个邻域的 \(C^\infty\) 函数, 且 \(\phi\), \(\phi_x\), \(\phi_y\), \(\phi_{xz}\), \(\phi_{yz}\) 在原点为 \(0\), \(\phi_{xx}\), \(\phi_{yy}\) 在原点为 \(1\), \(\phi_{xy}(O)=\frac{1}{2}\), \(\phi_z(O)=-\frac{1}{2}\). \(\phi(x,y,z)=0\) 确定的的隐函数记为 \(z=z(x,y)\) (已知 \(z(0,0)=0\)). 请讨论 \(z=z(x,y)\) 在 \((0,0)\) 附近的极值问题.
- (40分) 设 \(z=z(x,y)\) 是上题中的隐函数, \(\Omega_\delta\) 是 \((0,0)\) 点的 \(\delta\) 邻域, 当 \(\delta\) 充分小时, 证明下列极限存在并求值: \[\lim\limits_{t\to+\infty} t\iint_{\Omega_\delta}e^{-tz(x,y)}{\rm d}x{\rm d}y.\]
代数部分
- (20分) 设 \(A\) 是一个 \(2\) 阶复方阵, 考虑二阶复方阵的线性空间 \(M_2(\mathbb{C})\) 上的线性变换 \[\phi_A: M_2(\mathbb{C})\to M_2(\mathbb{C}),~X\mapsto AX-XA.\]试确定 \(\dim({\rm Ker}(\phi_A))\) 的所有可能值.
- (20分) 对于有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的两个 \(n\) 阶方阵 \[A=\begin{bmatrix}0&1&\cdots&1\\ 0&0&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&0&0\\ \end{bmatrix},~B=\begin{bmatrix}0&0&\cdots&0\\ 1&0&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 1&\cdots&1&0\\ \end{bmatrix}\]证明二者相似, 并求矩阵 \(T\), s.t. \(A=T^{-1}BT\).
- (20分) \(\mathbb{R}[x]\) 中有多项式 \[f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4,\] 试用系数 \(a_1\sim a_4\) 的关系式给出 \(f(x)\) 能表达成某不可约二次多项式 \(g(x)\) 平方的充要条件.
几何部分
- (30分) 欧式平面上保定向的等距变换群的一个子群 \(G\), 其中每一个非恒同的变换 \(g\) 都没有不动点, 且每一个平面上的点 \(p\) 在 \(G\) 作用下的轨道在平面上都没有聚点. 试证明 \(G\) 可由一个或两个平移变换生成.