单个方程的隐函数定理
二元情形
定理内容
定理 设二元函数 \(F(x,y)\) 在 \(U((x_0,y_0),\delta)\) 内满足以下条件:
(1) \(F(x_0,y_0)=0\), \(F_y'(x_0,y_0)\neq 0\);
(2) \(F(x,y)\), \(F_y'(x,y)\) 在 \(U((x_0,y_0),\delta)\) 内连续.
则 \(\exists\delta_0>0~(0<\delta_0<\delta)\), s.t. 在 \(U(x_o,\delta_0)\) 内存在唯一满足下列条件的连续函数 \(f(x)\):
(a) \(y_0=f(x_0)\);
(b) \(F(x,f(x))=0\), \(\forall x\in U(x_0,\delta_0)\);
(c) 如果 \(F_x'(x,y)\) 在 \(U((x_0,y_0),\delta)\) 内连续, 则 \(f(x)\) 在 \(U(x_0,\delta_0)\) 存在连续导数并且有 \[f'(x)=-\frac{F_x'(x,f(x))}{F_y'(x,f(x))}.\]
简略证明
不妨设 \(F_y'(x_0,y_0)>0\). 由 \(F_y'\) 的连续性与极限的保号性, \(\exists 0<\delta_1,\delta_2<\delta\), s.t. \(\forall (x,y)\in U(x_0,\delta_1)\times U(y_0,\delta_2)\), 有 \[F_y'(x,y)>0.\] 特别地, 若固定 \(x=x_0\), 则 \(\forall y\in U(y_0,\delta_2)\), 有 \(F_y'(x_0,y)>0\). 故 \(F(x_0,y)\) 在 \(U(y_0,\delta_2)\) 对 \(y\) 严格递增. 由于 \(F(x_0,y_0)=0\), 故 \[F(x_0,y_0-\delta_2)<0,~F(x_0,y_0+\delta_2)>0.\] 由 \(F\) 的连续性, \(\exists\delta_0\in (0,\delta_1)\), s.t. \(\forall x\in U(x_0,\delta_0)\), 总有 \[F(x,y_0-\delta_2)<0,~F(x,y_0+\delta_2)>0.\] \(\forall \tilde{x}\in U(x_0,\delta_0)\), 考虑到 \(F_y'(\tilde{x},y)>0\), 由零点定理可知, 存在唯一的 \(\tilde{y}\in U(y_0,\delta_2)\), s.t. \[F(\tilde{x},\tilde{y})=0.\] 这说明了隐函数在 \(U((x_0,y_0),\delta_0)\) 的存在性.
连续性和导数的存在性略去.
多元情形
定理 记 \(\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n)\), \(\boldsymbol{x}^0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)\in\mathbb{R}^n\), 设函数 \(F(\boldsymbol{x},y)=F(x_1,\cdots,x_n,y)\) 在 \(U(\boldsymbol{x}_0,\delta)\times U(y_0,\delta)~(\delta>0)\) 内由定义, 且满足
(1) \(F(\boldsymbol{x}_0,y_0)=0\), \(F_y'(\boldsymbol{x}_0,y_0)\neq 0\);
(2) \(F(\boldsymbol{x},y)\), \(F_y'(\boldsymbol{x},y)\) 在 \(U((\boldsymbol{x}_0,y_0),\delta)\) 内连续.
则 \(\exists\delta_0>0~(0<\delta_0<\delta)\), s.t. 在 \(U(\boldsymbol{x}_o,\delta_0)\) 内存在唯一满足下列条件的连续函数 \(f(\boldsymbol{x})\):
(a) \(y_0=f(\boldsymbol{x}_0)\);
(b) \(F(\boldsymbol{x},f(\boldsymbol{x}))=0\), \(\forall \boldsymbol{x}\in U(\boldsymbol{x}_0,\delta_0)\);
(c) 如果 \(F_x'(\boldsymbol{x},y)\) 在 \(U(\boldsymbol{x}_0,\delta)\times U(y_0,\delta)\) 内连续, 则 \(f(\boldsymbol{x})\) 在 \(U(\boldsymbol{x}_0,\delta_0)\) 存在各个连续偏导数并且有 \[\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i}=-\frac{F_{x_i}'(x_1,\cdots,x_n,y)}{F_y'(x_1,\cdots,x_n,y)},~\forall i=1,\cdots,n,~\forall\boldsymbol{x}\in U(\boldsymbol{x}_0,\delta).\] 其中 \(y=f(\boldsymbol{x})\).
方程组的隐函数(组)定理
待补
反函数存在性定理
定理 设 \(\boldsymbol{y}=(y_1,\cdots,y_n)=(f_1(\boldsymbol{x}),\cdots,f_n(\boldsymbol{x}))\) 是区域 \(D\subset\mathbb{R}^n\to\Omega\subset\mathbb{R}^n\) 的一个 \(C^1\) 映射, 且在 \(\boldsymbol{x}_0\in D\) 处有 \[\frac{\partial (f_1,\cdots,f_n)}{\partial (x_1,\cdots,x_n)}\Bigg|_{\boldsymbol{x}_0}\neq 0.\] 记 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\), 则存在 \(\boldsymbol{x}_0\) 的邻域 \(U(\boldsymbol{x}_0,\delta_0)\), s.t. \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\) 是 \(U(\boldsymbol{x}_0,\delta_0)\to \boldsymbol{f}(U)\) 的 \(C^1\) 同胚映射. 其中 \(\boldsymbol{f}(U)\) 是包含 \(\boldsymbol{y}_0\) 的一个区域.