积分第一中值定理
定理内容
积分第一中值定理 设函数 \(f(x)\in C[a,b]\), \(g(x)\in R[a,b]\) 且在 \([a,b]\) 不变号, 则 \(\exists\xi\in[a,b]\), s.t. \[\int_a^b f(x)g(x){\rm d}x=f(\xi)\int_a^b g(x){\rm d}x.\]
几何意义的探讨
\(g(x)\equiv 1\) 且 \(f(x)\geqslant 0\) 时, 其形式变为: \[\int_a^b f(x){\rm d}x=f(\xi)(b-a).\] 此时几何意义是很显然的: 由 \(x=a\), \(x=b\), \(y=f(x)\) 所围成的曲边梯形的面积与由 \(x=a,\), \(x=b\), \(y=f(\xi)\) 围成的矩形面积相等, 如图所示:
积分第二中值定理
定理内容
积分第二中值定理 设函数 \(g(x)\in R[a,b]\), 有以下三种情况: (1) 若函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 单调增, 且对于 \(\forall x\in[a,b]\), 有 \(f(x)\geqslant 0\), 则 \(\exists\xi_1\in[a,b]\), s.t. \[\int_a^b f(x)g(x){\rm d}x=f(b)\int_{\xi_1}^b g(x){\rm d}x.\] (2) 若函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 单调减, 且对于 \(\forall x\in[a,b]\), 有 \(f(x)\geqslant 0\), 则 \(\exists\xi_2\in[a,b]\), s.t. \[\int_a^b f(x)g(x){\rm d}x=f(a)\int_a^{\xi_2} g(x){\rm d}x.\] (3) 若函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 单调, 则 \(\exists\xi\in[a,b]\), s.t. \[\int_a^b f(x)g(x){\rm d}x=f(a)\int_a^\xi g(x){\rm d}x+f(b)\int_\xi^b g(x){\rm d}x.\]
参考文献
- 伍胜建. 数学分析.第2册[M]. 北京大学出版社, 2010.
- 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法-第2版[M]. 高等教育出版社, 2006.