- 2010-2011学年第一学期期末考试试卷 张梅、李勇
2010-2011学年第一学期期末考试试卷 张梅、李勇
- (20分)设某地区成年居民中肥胖者占 \(10\%\), 不胖不瘦者占 \(82\%\), 瘦者占 \(8\%\). 又知道肥胖者患高血压的概率为 \(20\%\), 不胖不瘦者患高血压的概率为 \(10\%\), 瘦者患高血压的概率为 \(5\%\), 试求
- 该地区居民患高血压的概率;
- 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大?
- (20分)设 \(\{\xi_i,~i=1,2,\cdots\}\) 为一列独立同分布的随机变量, 它们都服从 \([-1,1]\) 上的均匀分布.
- 求 \(\xi_1\) 的特征函数;
- 设 \(\eta\) 服从参数为 \(\lambda\) 的Possion分布, 即 \(\mathbb{P}(\eta=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},~k=0,1,2,\cdots\). 求 \(\eta\) 的母函数;
- 假定 \(\eta_n\) 服从参数为 \(3n\) 的Possion分布, 并且与 \(\{\xi_i,~i=1,2,\cdots\}\) 相互独立. 证明 \(X_n:=\sum\nolimits_{i=1}^{\eta_n}\xi_i\) 的特征函数为 \(f_n(x)=e^{3n(\frac{\sin t}{t}-1)}\) (约定 \(\sum\nolimits_{i=1}^0\xi_i=0\)).
- 证明: 当 \(n\to\infty\) 时, \(\frac{1}{\sqrt{n}}X_n\stackrel{w}{\rightarrow}N(0,1)\).
- (30分)若 \(\xi\sim N(0,\sigma^2)\),
- 给出 \(\xi\) 的特征函数表达式;
- 对于 \(\forall~b\in\mathbb{R}\), 证明 \[\mathbb{P}(\xi=b)=0~\text{或}~1;\]
- 若 \(\vec{\xi}=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)\sim N(0,A'A)\), 其中 \(A\) 为 \(n\times n\) 矩阵, 其 \((s,t)\) 位置的元素 \[a_{st}= \begin{cases} 1, & s = t - 1 \\ 0, & s\neq t - 1 \end{cases}\] 利用 \(\xi\) 的特征函数计算 \(\vec{\xi}\) 的特征函数;
- \(\vec{\xi}\) 是 \(n\) 维连续型随机变量吗? 证明你的结果;
- \(\{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}\) 满足大数定律吗? 证明你的结果;
- \(\{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}\) 满足中心极限定理吗? 证明你的结果.
- (15分)
- 证明依概率收敛的极限在几乎必然的意义下唯一, 即: 若 \(\xi_n\stackrel{\mathbb{P}}{\rightarrow}{\xi},~\xi_n\stackrel{\mathbb{P}}{\rightarrow}{\eta}\), 必有 \(\mathbb{P}(\xi=\eta)=1\);
- 设 \(\xi\sim N(0,1)\), 证明: \(-\xi\sim N(0,1)\);
- 距离说明: 弱收敛的极限在几乎必然的意义下不唯一, 即: 如果 \(\xi_n\stackrel{w}{\rightarrow}{\xi},~\xi_n\stackrel{w}{\rightarrow}{\eta}\), 未必有 \(\mathbb{P}(\xi=\eta)=1\).
- 设 \(\{\xi_n\}\) 为独立随机变量列, \(\mathbb{E}(\xi_n)=0\), \(D(\xi_n)<\infty\), \(n\geqslant 1\).
- \(\forall~\epsilon>0\), 记 \(A_1=\{|S_1|\geq\epsilon\}\), \[A_k=\{|S_k|\geq\epsilon\}\cap\left(\bigcap\limits_{k=1}^{k-1}\{|S_j|<\epsilon\}\right),\quad k=2,\cdots,n.\] 证明 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 互不相容;
- 证明 \(S_n-S_k\) 与 \(S_k\chi_{A_k}\) 相互独立, 其中 \(\chi_{A_k}\) 表示事件 \(A_k\) 的示性函数;
- 记 \(S_n=\sum\limits_{k=1}^n\xi_k\), 证明 \[\mathbb{P}\left(\max_{1\leq k\leq n}|S_k|\geq\epsilon\right)\leq\frac{D(S_n)}{\epsilon^2},\qquad\forall~\epsilon>0.\]