北京师范大学复变函数试卷

2015 复变函数期末试题邓冠铁

(20分)
1. 叙述孤立奇点的定义.
2. 求下列各函数在复平面 \(\mathbb{C}\) (不含 \(\infty\) 点)中的孤立奇点, 孤立奇点各属于哪一种类型(极点指明阶数); \[(a)~\frac{1}{z(z^2+1)^2};~(b)~\frac{e^z-1-z}{z^2(\cos z-1)}~;~(c)\frac{1}{z^3\sin(1/z)}\]
3. 求 (a) 和 (b) 中函数在孤立奇点 \(0\) 的留数.
(20分) 叙述留数定理并计算下列积分: \[(1)~\int\nolimits_{|z|=2}\frac{z-6}{z^2(z^2-1)}dz;~(2)\int\nolimits_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\sin xdx}{(1+x^2)(4+x^2)}.\]
(15分)分式线性映射 \(w=T(z)=\frac{z-1}{z+1}\) 将区域 \(\Omega=\{z:{\rm Re}~z<0,{\rm Im}~z<0\}\) 映射为什么区域？即求 \(T(\Omega)=?\) (作图标明原像区域和像区域.)
(20分)叙述儒歇(Rouche)定理并求方程 \(z^5-5z^2+z+1=0\) 在圆环 \(1<|z|<2\) 内根的个数.
(15分)设 \(f(z)\) 在区域 \(\Omega\) 内解析, 且 \(|f(z)|\) 在区域 \(\Omega\) 内为常数. 试证明 \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 中为常数.
(10分)
1. 说明多值函数 \((z(1-z)^2)^{\frac{1}{3}}\) 在割去线段 \([0,1]\) 的 \(z\) 平面上可以分出三个单值解析分支;
2. 求出在 \([0,1]\) 的上沿取正值的那个单值解析分支 \(g_0(z)\) 在点 \(z=-1\) 处的值 \(g_0(-1)=?\);
3. 计算积分 \(\int\nolimits_0^1\frac{\sqrt[3]{x(1-x)^2}dx}{(1+x)}\).

(20分)设 \(z_1,z_2\) 是任意两个复数, 证明 \[|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2),\] 并说明其几何意义(画图说明).
(20分)叙述函数 \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) 在一点的(复)可微和解析的定义且讨论函数 \(f(z)=x^2y+ixy^2\) 的(复)可微性和解析性(在何处(复)可微和解析).
(25分)将函数 \(\frac{z}{z^2+8z+20}\) 按 \(z+4\) 的幂展出, 并指出其收敛半径.
(25分)在下了区域中, 哪些区域存在 \(\sqrt{(z^2-1)(z^2-4)}\) 的解析分支？请说明理由.
1. \(\mathbb{C}\backslash((-\infty,-1]\cup[1,+\infty))\);
2. \(\mathbb{C}\backslash[-2,2]\);
3. \(\mathbb{C}\backslash([-2,-1]\cup[1,2))\);
4. \(\mathbb{C}\backslash((-\infty,-2]\cup[-1,2))\).
(10分)设 \(\Omega\) 为平面上的一个非空区域(区域 \(\Omega\) 是连通开集, \(\Omega\) 中任意两点可以用曲线连接), 如果 \(D\subset\Omega\), \(D\) 是一个非空开集且 \(D\neq\Omega\), 证明存在 \(D\) 的边界点 \(c\in\partial\Omega\) 满足 \(c\in\Omega\).

显然. 几何意义: 平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和.
由C-R方程可知, 函数只在原点可微, 处处不解析.
拆成分式即可直接展开，此处只列出前几项以供参考: \[-1+\frac{x+4}{4}+\frac{1}{4} (x+4)^2-\frac{1}{16} (x+4)^3-\frac{1}{16} (x+4)^4+\frac{1}{64} (x+4)^5+O\left((x+4)^6\right).\]
(1)存在, (2)存在, (3)不存在, (4)存在.
证明从略.

(15分)叙述函数 \(f(z)=u(x,u)+iv(x,y)\) 在一点的(复)可微和解析的定义且讨论函数 \(f(z)=x^3y+iy^3x\) 的(复)可微性和解析性(在何处(复)可微和解析).
(25分)将下列函数在指定圆环内展成洛朗级数:
1. \(\frac{1}{z^2(z^2-9)},\quad 3<|z|<+\infty\);
2. \(\cos(\frac{1}{z-1}),\quad 1<|z-1|<+\infty\);
3. \(\frac{f(z)}{z^5}\), \(f(z)\) 为 \({\rm Ln}(1-z)\) 在 \(|z|<1\) 中满足 \(f(0)=0\) 的解析分支.
(25分) (1)求函数 \(\frac{z^2-4}{z(z^2-1)^2}\) 和 \(\frac{1}{z^4\sin z}\) 在复平面 \(\mathbb{C}\) (不含 \(\infty\) 点)中的孤立奇点, 孤立奇点各属于哪一种类型(极点要指明阶数); (2)求函数 \(\frac{1}{\sin z}\), \(\frac{1}{z^2\sin z}\), \(\frac{1}{z^4\sin z}\) 在 \(0\) 处的留数.
(10分)分式线性映射 \(w=T(z)=\frac{z+i}{z-i}\) 将指定区域 \(\Omega=\{z:{\rm Re}~z<0,{\rm Im}~z<0\}\) 映射为什么区域? ( \(T(\Omega)=~?\) 作草图标明原像区域和像区域, 并说明理由.)
(15分)计算积分 \[(1)~\int\nolimits_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2\cos x}{x^4+1}dx;\quad (2)\int\nolimits_0^{+\infty}\frac{x^\alpha}{4+x^2}dx~~(-1<\alpha<1).\]
(10分)说明多值函数 \((z^2(1+z)^3)^\frac{1}{5}\) 在割去线段 \([-1,0]\) 的 \(z\) 平面上可以分出五个单值连续分支. 求出在 \([-1,0]\) 的上沿取正值的那个单值解析分支 \(g_0(z)\) 在 \(z=1\) 点处的值和在点 \(z=i\) 处的值.