魔方杂记

疫情影响不能出门,在家又玩起了魔方...接触魔方已有很多年,玩过十几种不同的魔方了,把一些东西记录下来,给自己看. (被迫学习了一波 canvas + js 画图...)

  • 符号说明
  • 233 魔方还原方法(网上的相关资源不多,且质量不高)
  • 5 阶魔方的棱
  • 三阶魔方奇奇怪怪的姿势(×)

描述魔方转动的记号——Singmaster Notation

简单来说,就是用符号来表示魔方的转动.

现行的符号体系图解参见 http://www.mf100.org/base/about.php

比起那种平平无奇(×)的定义,我更想递归描述一下(什么毛病?)

那么我要开始了...(×)

先定义一下字符集:

  • 字母——表示旋转
    1. 单面操作U D L R F B,分别表示上下左右前后面(单面)顺时针旋转90°;
    2. 双面操作u d l r f b,分别表示上下左右前后面(双面)顺时针旋转90°,i.e. 单面+中间层一起转;
    3. 中层操作E M S不是特快专递):
      1. EUD 的夹层做 D 方向的旋转;
      2. MLR 的夹层做 L 方向的旋转;
      3. SFB 的夹层做 F 方向的旋转;
    4. 整体操作x y z,分别表示魔方整体向着 R U F 方向旋转90°;
  • 逆向符号——逆操作,可以视为 \(a^{-1}\).
    • ',可以加在所有字母后面,使得旋转方向变为逆时针.
    • 例如:U' 表示顶面逆时针旋转90°.
  • 括号——编组
    • 表示将括号内的字符串编为一组. 不加括号时,单个字母(包括其后的 ')自成一组.
  • 数字——表示重复执行次数(幂次)
    • \(\forall n\in N_+\),可以跟在单个字母(包括其后的 ')后,或完整的组之后,表示重复执行 \(n\) 次.
      • 例如:U2 表示顶面旋转180°.

现在,我们可以说,公式就是由下面几条所定义的东西:

  1. 空语句 e 是公式,表示什么都不做;
  2. A 是公式,n 是数字,则 (A) 以及 (A)n 是公式;
  3. A 是公式,c 是字母,则 AccAAc'c'A 是公式;

公式应当是可以化简的:

  1. c 是字母,则相邻的 cc' 以及 c'c 可以消去;
  2. 若括号中只有单个字母,则该括号可以扔掉(废话;
  3. 以上步骤可以反复进行,直到没有任何可以消去的东西,那么这个公式应该就是最简的了(吧?)

上述内容既没有经过查证,也没有经过严格的复核...如有疏漏之处还请指正(

233 魔方还原

还原方法:底层十字(很简单)\(\to\)底层角块\(\to\)顶层角块\(\to\)顶层棱块.

233 魔方相比三阶魔方,有一些特殊之处:

  • 侧面的棱只能转 180 度,不能转 90 度. (L R F B 都必须连做两次).
  • 底面还原好后,顶面也一定还原好了.
    • 事实上,233 魔方只有位置的变化,总变化数为 \(7!\times 8!\times 2=406425600\).

据说可以视为三阶魔方去掉中间层,进而以三阶魔方的 F2L 以及 PLL 稍作改动来还原... 奈何本人才疏学浅,尝试几次却不得要领.

底层十字很好做,因此从底层角块开始...

底层角块

我们只需要解决下图中的情形:

第一层角块

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解决方法:R2U R2U' R2
  • 注意:该方法能够完整保留底层所有其他块的位置不动,但不能保证顶层的其余块不动.

顶层角块

我们只需要实现“交换相邻角块”的操作即可(暂时不管上层棱块). 事实上,我们可以解决下图所示的情形(交换一组相邻角块以及一组相对的棱块):

第二层角块

1
解决方法:R2U R2U' R2  F2U' F2U F2U'
  • 注意,上述操作的前一半与还原底层角块时的操作完全一样,因此前一半实际上将图中的 红-白-绿 块放到了底面.

顶层棱块

顶层棱块需要两种操作:1. 交换相对的棱块2. 交换相邻的棱块.

第二层相对棱块 第二层相邻棱块
相对棱块交换示意图 相邻棱块交换示意图

对于相对棱块的情形,直接做三次 R2U2 即可.

  • 上述操作能够完美保证其他所有块的位置和朝向均不发生变化. 因此可利用该操作还原相邻棱块的情形.

事实上,对于相邻棱块,先做 R2 D B2,即可将右边的棱块(图中第二层右边的黄色棱块)转移到背面,此时就变成了相对的情形,按照相对棱块的办法复原,再还原即可.

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解决方法:
相对棱块:R2U2 R2U2 R2U2,简记为 (R2U2)×3
相邻棱块:(R2 D B2) (R2U2)×3 (B2 D' R2)

其他操作

可以做的一些其他操作.

两层同时交换相邻的棱块和角块

解决如下情形:

其他操作-1

1
解决方法:R2U'R2U DR2D'R2

同时调整第二层的三个棱块

解决如下两种情形:

顺时针轮换 逆时针轮换
棱块顺时针轮换示意图 棱块逆时针轮换示意图
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解决方法:
顺时针:RURU'R F LU'LUL F(图 1)
逆时针:LU'LUL F RURU'R F(图 2)

参考资料

  1. http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/reheart/RC/th/3x3x2.htm

此外,还有一种类似于三阶魔方“缺角层先法”的还原思路,参考 http://www.soongsky.com/cube/solve233/

五阶魔方的棱

翻棱

常规的拼棱方法是把两侧的棱块逐个(按照正确的方向)拼到最中间的棱块上. 事实上,只需要如下的一个公式:

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RUR' FR'F'R
  • 该公式的效果是把 R 面和 F 面交叉的棱翻转过来,具体可以在三阶魔方上验证.

最后一组棱

最后一组棱可能会出现位置对但方向不对的情况,如下图所示:

五阶魔方的最后一组棱

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解决方法:r2 B2 U2 l U2 r' U2 r U2 F2 r F2 l' B2 r2
  • 上述操作同时也会将图中 蓝-黄绿-黄 位置的两组棱以及角块互换,其他块保持不变.
    • 不过好像并没有什么实质作用...
    • 比较有用的说法是:上述操作不会破坏其他已经拼好的棱

84 拼棱法

三阶魔方的各种玩法

先贴一个关于解法之间的比较:

知乎 为什么很多人都采取层先法?https://www.zhihu.com/question/59164976

层先

相关资源特别多:

但是,层先法有着不同的路数..

我最初接触的层先法

笔者从初中(大约11年或者12年)开始接触魔方. 好像是在太原某超市买了一个10元上下的魔方(品牌好像是永俊?),对着说明书研究了一个中午搞会了还原方法...那本说明书很短但很清晰,算是我的启蒙导师吧...因此,凭借自己(应该比较靠谱)的回忆,在这里描述一下这个还原方法:

底面做十字 复原底面角块 复原中层棱块 顶面做十字 复原顶面角块 复原顶层棱块

具体用到的公式及简略说明:

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第一层就不多bb了...

第二层:
若某个棱块不在自己的位置上,那么它要一定在顶层,因此只需将其下移至第二层.
具体地,考虑以下两种情况
- RU交界棱块 → RF交界处:U R U'R'+ U'F'U F
- FU交界棱块 → RF交界处:U'F'U F + U R U'R'
** 容易看出上述两个公式就是换了一下顺序...

顶层棱块朝向:
前两层完成后顶面棱块只有四种可能情况(+表示与中心块同色,·表示异色),我们的目标是4(十字):
1. ··· 2. ·+· 3. ·+· 4. ·+·
·+· ·+· ++· +++
··· ·+· ··· ·+·
以下公式会使顶面棱块按照 1->2->3->4->2... 的循环变化.
- R' U' F U F R

顶层角块位置:
以下公式会使顶层除BLU交界角块外的其余三个角块的位置产生轮换.
OO1 如左边所示:
OOO 顺时针轮换:1->2->3->1
3O2 逆时针轮换:1->3->2->1
- 逆时针:F B' U'B U F'U'B'U B
- 顺时针:L R' U L'U'R U L U'L'
** 上述公式不会改变棱块位置,但会改变角块朝向.

顶层角块朝向:
以下公式会使顶层三个角块向相同方向旋转.
- 除BLU角块外,其他角块逆时针旋转:R'U'R U'R'U2 R U2
- 除BRU角块外,其他角块顺时针旋转:L U L'U L U2 L'U2
** 上述公式不会改变角块位置,但会改变棱块位置.

顶层棱块位置:
以下公式会使顶层除BU交界棱块外的其余三个棱块的位置产生轮换.
OOO 如左边所示:
3O1 顺时针轮换:1->2->3->1
O2O 逆时针轮换:1->3->2->1
- 逆时针:L'U'L U'L'U2 L U + L U L'U L U2 L'U'
- 顺时针:R U R'U R U2 R'U'+ R'U'R U'R'U2 R U
** 稍后会看到,这两条公式的前半段是交换一对相邻的棱块,但会破坏角块朝向.
** 很容易看出,后半段是还原角块朝向(收拾烂摊子...

很容易发现上述公式有一些可以简化的部分...随意列出几条:

  1. 做顶面十字时,可能需要连续操作 2 或 3 次 R' U' F U F R,此时相邻的 RR' 可以抵消.

  2. 调整顶层棱块位置时(以顺时针为例):我们需要做的是 R U R'U R U2 R'U'+ R'U'R U'R'U2 R U. 其中,"+" 前的最后一个 U' 是在调整顶层的角度,使得可以不转动魔方而直接套用角块朝向公式. 但实际上这一步是多余的,因而在角块的方向还原(R'U'R U'R'U2 R)后,我们需要做额外的一步 U 来还原顶层角度. 我们可以旋转整个魔方,来简化这个操作. 简化后的公式为:

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    逆时针:L'U'L U'L'U2 L + y + L U L'U L U2 L'
    顺时针:R U R'U R U2 R'+ y'+ R'U'R U'R'U2 R

  3. 仍然是调整顶层棱块位置时,对于以下情况需要做两次公式. 但可以有一个替代的方案,步数大约是原先的一半:

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    考虑以下情形——相邻棱块两两互换. 按照公式有如下解法:
    O4O O2O O1O 这里是做两次顺时针轮换(243)和(124)
    1O3 -> 1O4 -> 4O2 解法不唯一.
    O2O O3O O3O
    但是我们可以考虑如下操作:
    - M S D S' D2 M'
    ** 该操作的效果为:
    1. 交换UF棱块与UR棱块
    2. 交换DB棱块与DL棱块(注意,涉及到的四个棱块恰好分列LRFB四个侧面)
    3. 底层错位90度(相当于做了一次 D)
    因此我们对上述情况:
    1. 先做一次 MSDS'D2M',复原顶层的一组相邻棱块.
    2. 然后做一次 D',使得未被复原的棱块分列四个侧面.
    3. 此时将魔方整个水平旋转180度(y2),再做一次 MSDS'D2M',即可将棱块全部复原.
    4. 最后再做 D',将底面角度调整好即可.

    综上所述,交换顶面两组相邻棱块时,可以采取下述公式,减少步数:
    - MSDS'D2M' D' y2 MSDS'D2M' D'
    ** 不过其中使用了太多的中间层操作,在速度上未必会有显著提升.
    ** 事实上,CFOP 的 PLL 中还有更好的做法.

网站 rubiks-cu.be

网站 rubiks-cu.be 同样给出了一种还原方法. 在顶面十字做好后,后续操作与上一套做法有些不同:

底面做十字 复原底面角块 复原中层棱块 顶面做十字 复原顶层棱块 复原顶层角块

这里引起我注意的主要是棱块位置的还原,以及角块的轮换:

  • 关于顶面棱块的位置,这里给出的公式是 RUR'URU2R'U. 与上一套做法中最后一步“轮换棱块”的公式的前一半基本相同. 该网站对此公式的说明“swap edges”,事实上相当贴切...因为这个操作的效果就是交换 UF 棱块与 UL 棱块.
  • 关于角块的轮换,给出了一种不同的公式:
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    先给出公式:U R U' L' U R' U' L
    其作用如下:(俯视图,上为F,下为B,左为L,右为R)
    2O1 1O3 即:除FRU角块外的其余三个角块逆时针轮换.
    OOO -> OOO
    3OX 2OX
    ** 该公式能保持所有棱块不发生任何变化,但会改变顶层角块朝向
    ** 其对顶层角块带来的朝向改变与上一套中相应公式带来的变化不同

这里对角块朝向的处理也非常有趣:

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只需要反复做 R'D'RD,就必定可以将FRU角块还原.(为什么?值得思考)
- 并且不破坏任何棱块,也不破坏其他角块的位置!
之后,我们将其他未还原的顶层角块转到FRU位置,继续反复做R'D'RD即可...

GAN 说明书

参考链接:https://www.gancube.com/layer-by-layer-guide-of-gancube

2020年寒假期间在家突然想起了魔方,但是先前的魔方已经找不到了(大概是送给别人了),因此买了一个 GAN 的魔方,其说明书比较长,包括了层先法与 CFOP. 这里给出的层先法也是非常有 “CFOP 味道” 的一种做法:

底面十字 底面角块 中层棱块 顶面棱块朝向 顶面角块朝向 顶面角块位置 顶面棱块位置

前四步与先前的所有层先法都完全相同. 在还原顶面角块朝向时,使用的公式与第一套做法中的公式相同. 值得关注的主要是角块位置的还原:

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这一步只用到一个公式:(R'U) (L'U2) (RU') (R'U2) LR
其具体作用是将LBU角块与RBU角块互换:
1O2 2O1 ** 该操作会破坏棱块,它实际上是同时交换了角块和棱块
OOO -> OOO 1b2 2a1
XOX XOX aOO -> bOO 事实上这样画更为准确(第三行不受影响,所以省略了)

GAN教程中的最后一步使用的是 M'2 U M U2 M' U M'2,不过并没有什么值得关注的地方.

升级版层先法——CFOP

又名 Fridrich 方法,分为 Cross, F2L, OLL, PLL 四步,所以一般叫 CFOP:

  • C-底层十字:Cross,无公式
  • F-前两层:F2L(First 2 Layers),41 个公式
  • O-顶面块朝向:OLL(Orientation of Last Layer),57 个公式
  • P-顶面块位置:PLL(Permutation of Last Layer),21 个公式
底层做十字 还原前两层 还原顶面朝向 还原顶面位置

总公式量为 \(41+57+21=119\).

CFOP 详见: http://www.rubik.com.cn/fridrichold.htm

另有一篇介绍了 8 种速解方法的文章:

角先

还原步骤:

底层角块 顶层角块 中层棱块 底层棱块 顶层棱块
  1. 还原所有角块

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    底层角块:很容易,无公式
    顶层角块:可以使用层先法调整顶层角块的公式

  2. 还原中层棱块

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    只有一个公式:M' R U' M U R'

  3. 还原底层棱块:很容易,琢磨一下即可(

  4. 还原顶层棱块朝向(EOLL):

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    翻转一组相邻棱块(FU和RU):
    - M U M' U2 M U M'
    ** 实际上只需要这一个公式好像就够了...

    翻转一组相对棱块(FU和BU):
    - (x') M' U' R U M U' R' U (x)

    四个棱块同时翻转:
    - M' U2 M U2 M' U M U2 M' U2 M

  5. 还原顶层棱块位置(EPLL):同层先法.

参考 https://www.speedsolving.com/wiki/index.php/Corners_First

棱先

棱先法已经基本被抛弃了...

顶层十字 中层棱块 底层棱块 复原角块

桥式(Roux method)

常用于最小步还原的一种还原方法,参见 https://www.speedsolving.com/wiki/index.php/Roux_method

其他方法

  • 缺角层先法:http://www.soongsky.com/cube/solve/
  • Columns First Methods:https://www.speedsolving.com/wiki/index.php/Columns_First_Methods

魔方资源整理

直接搜的话太过零散了...做个简单整理(