魔方杂记 | Zhechen's Personal Website

疫情影响不能出门，在家又玩起了魔方…接触魔方已有很多年，玩过十几种不同的魔方了，把一些东西记录下来，给自己看. （被迫学习了一波 canvas + js 画图…）

符号说明
233 魔方还原方法（网上的相关资源不多，且质量不高）
5 阶魔方的棱
三阶魔方奇奇怪怪的姿势（×）

描述魔方转动的记号——Singmaster Notation

简单来说，就是用符号来表示魔方的转动.

现行的符号体系图解参见 http://www.mf100.org/base/about.php

比起那种平平无奇（×）的定义，我更想递归描述一下（什么毛病？）

那么我要开始了…（×）

先定义一下字符集：

字母——表示旋转
1. 单面操作：U D L R F B，分别表示上下左右前后面（单面）顺时针旋转90°；
2. 双面操作：u d l r f b，分别表示上下左右前后面（双面）顺时针旋转90°，i.e. 单面+中间层一起转；
3. 中层操作：E M S（~~不是特快专递~~）：
  1. E：U 和 D 的夹层做 D 方向的旋转；
  2. M：L 和 R 的夹层做 L 方向的旋转；
  3. S：F 和 B 的夹层做 F 方向的旋转；
4. 整体操作：x y z，分别表示魔方整体向着 R U F 方向旋转90°；
逆向符号——逆操作，可以视为 \(a^{-1}\).
- '，可以加在所有字母后面，使得旋转方向变为逆时针.
- 例如：U' 表示顶面逆时针旋转90°.
括号——编组
- 表示将括号内的字符串编为一组. 不加括号时，单个字母（包括其后的 '）自成一组.
数字——表示重复执行次数（幂次）
- \(\forall n\in N_+\)，可以跟在单个字母（包括其后的 '）后，或完整的组之后，表示重复执行 \(n\) 次.
  - 例如：U2 表示顶面旋转180°.

现在，我们可以说，公式就是由下面几条所定义的东西：

空语句 e 是公式，表示什么都不做；
若 A 是公式，n 是数字，则 (A) 以及 (A)n 是公式；
若 A 是公式，c 是字母，则 Ac、cA、Ac'、c'A 是公式；

公式应当是可以化简的：

设 c 是字母，则相邻的 cc' 以及 c'c 可以消去；
若括号中只有单个字母，则该括号可以扔掉（废话；
以上步骤可以反复进行，直到没有任何可以消去的东西，那么这个公式应该就是最简的了（吧？）

上述内容既没有经过查证，也没有经过严格的复核…如有疏漏之处还请指正（

233 魔方还原

还原方法：底层十字（很简单）\(\to\)底层角块\(\to\)顶层角块\(\to\)顶层棱块.

233 魔方相比三阶魔方，有一些特殊之处：

侧面的棱只能转 180 度，不能转 90 度. （L R F B 都必须连做两次）.
底面还原好后，顶面也一定还原好了.
- 事实上，233 魔方只有位置的变化，总变化数为 \(7!\times 8!\times 2=406425600\).

据说可以视为三阶魔方去掉中间层，进而以三阶魔方的 F2L 以及 PLL 稍作改动来还原… 奈何本人才疏学浅，尝试几次却不得要领.

底层十字很好做，因此从底层角块开始

底层角块

我们只需要解决下图中的情形：

第一层角块

1	解决方法：R2U R2U' R2

注意：该方法能够完整保留底层所有其他块的位置不动，但不能保证顶层的其余块不动.

顶层角块

我们只需要实现“交换相邻角块”的操作即可（暂时不管上层棱块）. 事实上，我们可以解决下图所示的情形（交换一组相邻角块以及一组相对的棱块）：

第二层角块

1	解决方法：R2U R2U' R2 F2U' F2U F2U'

注意，上述操作的前一半与还原底层角块时的操作完全一样，因此前一半实际上将图中的 红-白-绿 块放到了底面.

顶层棱块

顶层棱块需要两种操作：1. 交换相对的棱块，2. 交换相邻的棱块.

相对棱块交换示意图	相邻棱块交换示意图

对于相对棱块的情形，直接做三次 R2U2 即可.

上述操作能够完美保证其他所有块的位置和朝向均不发生变化. 因此可利用该操作还原相邻棱块的情形.

事实上，对于相邻棱块，先做 R2 D B2，即可将右边的棱块（图中第二层右边的黄色棱块）转移到背面，此时就变成了相对的情形，按照相对棱块的办法复原，再还原即可.

1
2
3

解决方法：
    相对棱块：R2U2 R2U2 R2U2，简记为 (R2U2)×3
    相邻棱块：(R2 D B2) (R2U2)×3 (B2 D' R2)

其他操作

可以做的一些其他操作.

两层同时交换相邻的棱块和角块

解决如下情形：

其他操作-1

1	解决方法：R2U'R2U DR2D'R2

同时调整第二层的三个棱块

解决如下两种情形：

棱块顺时针轮换示意图	棱块逆时针轮换示意图

1
2
3

解决方法：
    顺时针：RURU'R F LU'LUL F（图 1）
    逆时针：LU'LUL F RURU'R F（图 2）

参考资料

http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/reheart/RC/th/3x3x2.htm

此外，还有一种类似于三阶魔方“缺角层先法”的还原思路，参考 http://www.soongsky.com/cube/solve233/

五阶魔方的棱

翻棱

常规的拼棱方法是把两侧的棱块逐个（按照正确的方向）拼到最中间的棱块上. 事实上，只需要如下的一个公式：

1	RUR' FR'F'R

该公式的效果是把 R 面和 F 面交叉的棱翻转过来，具体可以在三阶魔方上验证.

最后一组棱

最后一组棱可能会出现位置对但方向不对的情况，如下图所示：

五阶魔方的最后一组棱

1	解决方法：r2 B2 U2 l U2 r' U2 r U2 F2 r F2 l' B2 r2

上述操作同时也会将图中 蓝-黄 和 绿-黄 位置的两组棱以及角块互换，其他块保持不变.
- 不过好像并没有什么实质作用…
- 比较有用的说法是：上述操作不会破坏其他已经拼好的棱

84 拼棱法

三阶魔方的各种玩法

先贴一个关于解法之间的比较：

知乎为什么很多人都采取层先法？https://www.zhihu.com/question/59164976

层先

我最初接触的层先法

笔者从初中（大约11年或者12年）开始接触魔方. 好像是在太原某超市买了一个10元上下的魔方（品牌好像是永俊？），对着说明书研究了一个中午搞会了还原方法…那本说明书很短但很清晰，算是我的启蒙导师吧…因此，凭借自己（应该比较靠谱）的回忆，在这里描述一下这个还原方法：

底面做十字	复原底面角块	复原中层棱块	顶面做十字	复原顶面角块	复原顶层棱块

具体用到的公式及简略说明：

第一层就不多bb了...

第二层：
    若某个棱块不在自己的位置上，那么它要一定在顶层，因此只需将其下移至第二层. 
    具体地，考虑以下两种情况
        - RU交界棱块 → RF交界处：U R U'R'+ U'F'U F
        - FU交界棱块 → RF交界处：U'F'U F + U R U'R'
    ** 容易看出上述两个公式就是换了一下顺序...

顶层棱块朝向：
    前两层完成后顶面棱块只有四种可能情况(+表示与中心块同色，·表示异色)，我们的目标是4（十字）：
        1. ···   2. ·+·   3. ·+·   4. ·+·
           ·+·      ·+·      ++·      +++
           ···      ·+·      ···      ·+·
    以下公式会使顶面棱块按照 1->2->3->4->2... 的循环变化.
        - R' U' F U F R

顶层角块位置：
    以下公式会使顶层除BLU交界角块外的其余三个角块的位置产生轮换.
    OO1  如左边所示：
    OOO  顺时针轮换：1->2->3->1
    3O2  逆时针轮换：1->3->2->1
        - 逆时针：F B' U'B U F'U'B'U B
        - 顺时针：L R' U L'U'R U L U'L'
    ** 上述公式不会改变棱块位置，但会改变角块朝向.

顶层角块朝向：
    以下公式会使顶层三个角块向相同方向旋转.
        - 除BLU角块外，其他角块逆时针旋转：R'U'R U'R'U2 R U2
        - 除BRU角块外，其他角块顺时针旋转：L U L'U L U2 L'U2
    ** 上述公式不会改变角块位置，但会改变棱块位置.

顶层棱块位置：
    以下公式会使顶层除BU交界棱块外的其余三个棱块的位置产生轮换.
    OOO  如左边所示：
    3O1  顺时针轮换：1->2->3->1
    O2O  逆时针轮换：1->3->2->1
        - 逆时针：L'U'L U'L'U2 L U + L U L'U L U2 L'U'
        - 顺时针：R U R'U R U2 R'U'+ R'U'R U'R'U2 R U 
    ** 稍后会看到，这两条公式的前半段是交换一对相邻的棱块，但会破坏角块朝向.
    ** 很容易看出，后半段是还原角块朝向（收拾烂摊子...

很容易发现上述公式有一些可以简化的部分…随意列出几条：

做顶面十字时，可能需要连续操作 2 或 3 次 R' U' F U F R，此时相邻的 R 和 R' 可以抵消.
调整顶层棱块位置时（以顺时针为例）：我们需要做的是 R U R'U R U2 R'U'+ R'U'R U'R'U2 R U. 其中，“+” 前的最后一个 U' 是在调整顶层的角度，使得可以不转动魔方而直接套用角块朝向公式. 但实际上这一步是多余的，因而在角块的方向还原（R'U'R U'R'U2 R）后，我们需要做额外的一步 U 来还原顶层角度. 我们可以旋转整个魔方，来简化这个操作. 简化后的公式为：
1
2
逆时针：L'U'L U'L'U2 L + y + L U L'U L U2 L'
顺时针：R U R'U R U2 R'+ y'+ R'U'R U'R'U2 R

仍然是调整顶层棱块位置时，对于以下情况需要做两次公式. 但可以有一个替代的方案，步数大约是原先的一半：

考虑以下情形——相邻棱块两两互换. 按照公式有如下解法：
    O4O    O2O    O1O  这里是做两次顺时针轮换（243）和（124）
    1O3 -> 1O4 -> 4O2    解法不唯一.
    O2O    O3O    O3O 
但是我们可以考虑如下操作：
    - M S D S' D2 M'
    ** 该操作的效果为：
        1. 交换UF棱块与UR棱块
        2. 交换DB棱块与DL棱块（注意，涉及到的四个棱块恰好分列LRFB四个侧面）
        3. 底层错位90度（相当于做了一次 D）
因此我们对上述情况：
    1. 先做一次 MSDS'D2M'，复原顶层的一组相邻棱块. 
    2. 然后做一次 D'，使得未被复原的棱块分列四个侧面. 
    3. 此时将魔方整个水平旋转180度（y2），再做一次 MSDS'D2M'，即可将棱块全部复原. 
    4. 最后再做 D'，将底面角度调整好即可.

综上所述，交换顶面两组相邻棱块时，可以采取下述公式，减少步数：
    - MSDS'D2M' D' y2 MSDS'D2M' D'
    ** 不过其中使用了太多的中间层操作，在速度上未必会有显著提升.
    ** 事实上，CFOP 的 PLL 中还有更好的做法.

网站 rubiks-cu.be

网站 rubiks-cu.be 同样给出了一种还原方法. 在顶面十字做好后，后续操作与上一套做法有些不同：

底面做十字	复原底面角块	复原中层棱块	顶面做十字	复原顶层棱块	复原顶层角块

这里引起我注意的主要是棱块位置的还原，以及角块的轮换：

关于顶面棱块的位置，这里给出的公式是 RUR'URU2R'U. 与上一套做法中最后一步“轮换棱块”的公式的前一半基本相同. 该网站对此公式的说明“swap edges”，事实上相当贴切…因为这个操作的效果就是交换 UF 棱块与 UL 棱块.

关于角块的轮换，给出了一种不同的公式：

先给出公式：U R U' L' U R' U' L
其作用如下：（俯视图，上为F，下为B，左为L，右为R）
    2O1    1O3   即：除FRU角块外的其余三个角块逆时针轮换.
    OOO -> OOO   
    3OX    2OX   
    ** 该公式能保持所有棱块不发生任何变化，但会改变顶层角块朝向
    ** 其对顶层角块带来的朝向改变与上一套中相应公式带来的变化不同

这里对角块朝向的处理也非常有趣：

1
2
3

只需要反复做 R'D'RD，就必定可以将FRU角块还原.（为什么？值得思考）
    - 并且不破坏任何棱块，也不破坏其他角块的位置! 
之后，我们将其他未还原的顶层角块转到FRU位置，继续反复做R'D'RD即可...

GAN 说明书

参考链接：https://www.gancube.com/layer-by-layer-guide-of-gancube

2020年寒假期间在家突然想起了魔方，但是先前的魔方已经找不到了（大概是送给别人了），因此买了一个 GAN 的魔方，其说明书比较长，包括了层先法与 CFOP. 这里给出的层先法也是非常有 “CFOP 味道” 的一种做法：

底面十字	底面角块	中层棱块	顶面棱块朝向	顶面角块朝向	顶面角块位置	顶面棱块位置

前四步与先前的所有层先法都完全相同. 在还原顶面角块朝向时，使用的公式与第一套做法中的公式相同. 值得关注的主要是角块位置的还原：

这一步只用到一个公式：(R'U) (L'U2) (RU') (R'U2) LR
其具体作用是将LBU角块与RBU角块互换：
1O2    2O1   ** 该操作会破坏棱块，它实际上是同时交换了角块和棱块
OOO -> OOO     1b2    2a1
XOX    XOX     aOO -> bOO  事实上这样画更为准确（第三行不受影响，所以省略了）

GAN教程中的最后一步使用的是 M'2 U M U2 M' U M'2，不过并没有什么值得关注的地方.

升级版层先法——CFOP

又名 Fridrich 方法，分为 Cross, F2L, OLL, PLL 四步，所以一般叫 CFOP：

C-底层十字：Cross，无公式
F-前两层：F2L（First 2 Layers），41 个公式
O-顶面块朝向：OLL（Orientation of Last Layer），57 个公式
P-顶面块位置：PLL（Permutation of Last Layer），21 个公式

底层做十字	还原前两层	还原顶面朝向	还原顶面位置

总公式量为 \(41+57+21=119\).

CFOP 详见: http://www.rubik.com.cn/fridrichold.htm

另有一篇介绍了 8 种速解方法的文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/57816260
- 出自专栏：https://zhuanlan.zhihu.com/c_1013368685897101312

角先

还原步骤：

底层角块	顶层角块	中层棱块	底层棱块	顶层棱块

还原所有角块

1 2	底层角块：很容易，无公式顶层角块：可以使用层先法调整顶层角块的公式

还原中层棱块
1
只有一个公式：M' R U' M U R'
还原底层棱块：很容易，琢磨一下即可（

还原顶层棱块朝向（EOLL）：

翻转一组相邻棱块（FU和RU）：
    - M U M' U2 M U M'	
    ** 实际上只需要这一个公式好像就够了...

翻转一组相对棱块（FU和BU）：
    - (x') M' U' R U M U' R' U (x)	

四个棱块同时翻转：
    - M' U2 M U2 M' U M U2 M' U2 M