北京大学群表示论试题

  • 2019 - 2020 学年 秋季学期 研究生课程 群表示论 王立中老师

19-20学年秋 群表示论 王立中老师

前 6 题每题 15 分,第 7 题 10 分..这里没有记下第 7 题...(学得太差...Orz)

  1. 证明有限群 \(G\) 的不可约复表示只有有限多个,且其特征标线性无关.(所有不可约表示都在正则表示中出现,因而只有有限多,线性无关用正交关系证明)
  2. \(K\) 是特征为 \(p>0\) 的域,\(G\) 是有限群,证明 \(K[G]\) 半单当且仅当 \(p\) 不整除 \(G\) 的阶.(Serre 习题 6.1,互素推半单同 Serre 书 Thm 1 的证明,半单推互素用反证法)
  3. \(K\) 是一个有限域,\(H\)\(\mathrm{SL}_n(K)\) 中所有上三角矩阵所构成的子群. 设有乘法群同态 \(\omega: K^*\to\mathbb{C}^*\),且 \(\omega^2\neq 1\). 则 \(H\)\(1\) 级表示:\[\chi_\omega\left(\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \\ \end{bmatrix}\right)=\omega(a).\]证明 \(\chi_\omega\) 的诱导表示不可约.(Serre 习题 7.4,用 Mackey 判定)
  4. \(X\)\(G\) 的子群族,考虑映射:\[\mathbb{C}\otimes\operatorname{Ind}:\mathbb{C}\otimes \bigoplus\limits_{H\in X}R(H)\to \mathbb{C}\otimes R(G)\] \[\mathbb{C}\otimes\operatorname{Res}:\mathbb{C}\otimes R(G)\to \mathbb{C}\otimes \bigoplus\limits_{H\in X}R(H)\]证明:
    1. \(\mathbb{C}\otimes \operatorname{Ind}\) 的像是环 \(\mathbb{C}\otimes R(G)\) 的理想;(用 \(\operatorname{Ind}(\varphi\cdot\operatorname{Res}\psi) = \operatorname{Ind}\varphi\cdot \psi\)
    2. 证明 \(\mathbb{C}\otimes\operatorname{Ind}\) 是满射当且仅当 \(\mathbb{C}\otimes\operatorname{Res}\) 是单射.
  5. 求二面体群 \(D_{10}\) 的特征标表,并求其在域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 上所有表示的 Schur 指数.(特征标表见 Serre 书 chp 5,Schur 指标是 \(1\),参见 Serre 习题 12.1)
  6. 证明:
    1. 有限群 \(G\) 的所有特征标都可以写为单项特征标的整系数线性组合;(特征标 \(\to\) 初等子群 \(\to\) 单项特征标)
    2. 证明交错群 \(A_5\) 至少有一个特征标不能写为单项特征标的正实系数线性组合.(Serre 习题 10.5)
  7. 还有一个题,但敝人才疏学浅...并不会做...也没有记下是什么题.