群表示论龟速学习

感觉自己远离抽象代数太久了…很僵硬…
内容主要是 GTM 42：Serre 所著的《Linear Representations of Finite Groups》. 也参考了一些丘维声先生的《群表示论》.

第一章线性表示概论

Def. 同态 \(\rho: G\to GL(V)\) 称为 \(G\) 在 \(V\) 内的一个线性表示.

等价定义：

空间 \(V\) 是群代数 \(K[G]\) 的左模（左-\(K[G]\) 模）.

顾名思义，就是用一个 \(GL(V)\) 中的矩阵来表示 \(G\) 中的一个元素，而且 \(GL(V)\) 中的运算也完全能刻画 \(G\) 中的运算.
例子：degree 为 \(1\) 的表示，正则表示，置换表示…

我们只考虑 \(V\) 是有限维的情形. 我们一般设 \(V\) 是 \(\mathbb{C}\) 上的空间.

表示与群代数的模：\(G\) 的表示 \((\varphi,V)\) \(\overset{\varphi^*(\sum a_g g)=\sum a_g\varphi(g)}{\Longleftrightarrow}\) \(K[G]\) 的表示 \((\varphi^*,V)\) \(\Longleftrightarrow\) \(V\) 是左 \(K[G]\)-模.

范畴上的表示 更一般地，设 \(\mathscr{U}\) 是一个范畴，取 \(\forall A\in \mathscr{U}\)，则同态 \(\rho: G\to Aut(A)\) 是一个 \(G\) 的表示.

表示的同态：设有表示 \((\rho, V)\) 和 \((\rho', W)\)，若同态 \(f: V\to W\) 满足 \(\rho_s\circ f = f\circ \rho_s'\)（即图表 \(\begin{matrix} V & \overset{\rho_s}{\longrightarrow} & V \\ f \downarrow & & \downarrow f \\ W & \overset{\rho_s'}{\longrightarrow} & W \\ \end{matrix}\)交换），则称 \(f\) 为二者之间的同态. 若 \(f\) 为 \(V\to W\) 的同构，则 \(f\) 也是表示之间的同构.

子表示：若 \(W\leqslant V\) 的子空间且在 \(G\) 下不变，则 \(\rho\) 在 \(W\) 上的限制被 \(\rho |_W\) 称为子表示. 当然，子表示 \(\iff\) 子模.

表示的运算

直和：\(V\oplus W\)，基本上是空间做直和；

张量积：\(V\otimes W\)，基本上是空间做张量积。

有自然同构：\(End(W)\otimes End(V)\cong End(W\otimes V)\).

对偶表示：\(\langle \rho_s x,\rho_s'x'\rangle = \langle x,x'\rangle\)

Maschke 定理 每个表示都是不可约表示的直和. （每个表示都是半单代数）

\(Sym^2\) 和 \(Alt^2\)：令 \(\theta\) 是 \(V\otimes V\) 的自同构，s.t. \(\theta(e_i\cdot e_j)=e_j\cdot e_i\). 定义

\(Sym^2(V)=\{z: \theta(z)=z\}=\{e_i\otimes e_j + e_j\otimes e_i\}\)，\(\dim = \frac{n(n+1)}{2}\);

\(Alt^2(V)=\{z: \theta(z)=-z\}=\{e_i\otimes e_j - e_j\otimes e_i\}\)，\(\dim = \frac{n(n-1)}{2}\).

显然有 \(Alt^2\cap Sym^2=\{0\}\)，因此结合维数，我们有 \(V\otimes V=Sym^2(V)\oplus Alt^2(V)\).

第二章特征标理论

Def. 设有表示 \(\rho: G\to GL(V),~s\mapsto \rho_s\)，令 \(\chi_\rho: G\to \mathbb{C},~s\mapsto tr(\rho_s)\)，称为 \(\rho\) 的特征标.

\(\chi_\rho(1)=tr(\rho(1))=\dim(V)=degree(\rho)\);
\(\chi_\rho(s^{-1})=\lambda_1^*+\cdots+\lambda_n^*=(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)^*=\chi_\rho^*(s)\);
\(\forall s,t\)，总有 \(\chi(st)=\chi(ts)\)（trace 的交换性）.

类函数：在共轭类上取值相等的函数. （特征标就是一种类函数）

类函数全体构成线性空间，维数即为共轭类的数量.

特征标的运算性质：

直和：\(\chi_{\rho_1\oplus \rho_2}=\chi_{\rho_1}+\chi_{\rho_2}\).
张量积：\(\chi_{\rho_1\otimes \rho_2}=\chi_{\rho_1}\times \chi_{\rho_2}\).
Sym 与 Alt：\(\chi_{Sym^2}=\frac{1}{2}\chi_\rho^2+\frac{1}{2}\chi_{\rho^2}\)，\(\chi_{Alt^2}=\frac{1}{2}\chi_\rho^2-\frac{1}{2}\chi_{\rho^2}\).

Schur 引理 不可约表示间的非平凡同态是同构.

特征标的内积：\(\langle \varphi, \psi\rangle=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{s\in G} \varphi(s)\psi(s)^*\).

懒，不想细改，有时内积写作 \(\langle\cdot, \cdot\rangle\)，有时写作 \((\cdot|\cdot)\)… 应不致混淆吧…

特征标的正交：

对于不可约指标，\(\langle \chi,\chi \rangle = 1\);

对不同构的不可约表示 \(\rho_1,\rho_2\)，设其特征标为 \(\chi_1,\chi_2\)，则 \(\langle \chi_1,\chi_2 \rangle = 0\).

不可约分解的重数：设 \(\rho: G\to GL(V)\) 的特征标为 \(\varphi\)，且有不可约分解 \(V=\bigoplus\limits_{i=1}^k W_i\)，则其中与 \(W\)（特征标设为 \(\chi\)）同构的个数为 \(\langle \varphi,\chi \rangle\).

由此立刻可得：两个表示同构当且仅当具有相同的特征标.

正则表示的特征标：\(r_G(s)=\begin{cases} |G|~ & s = 1 \\ 0~ & s\neq 1 \end{cases}\Rightarrow 不可约表示 ~W_i~ 在正则表示中的重数为其~degree~ \chi_i(1)\).

立即得到：\(r_G(s)=\sum \chi_i(1)\chi_i(s)\)，于是有：
- \(\sum\limits \chi_i^2(1)=|G|\);
- 若 \(s\neq 1\)，则 \(\sum \chi_i(1)\chi_i(s)=0\).

不可约表示的个数

Prop. \(f\) 是类函数，\((\rho, V)\) 是 \(G\) 的一个线性表示，特征标为 \(\chi\). 若 \(V\) 是不可约表示，则 \(\rho_f = \sum\limits_{t\in G}f(t)\rho_t\) 是一个常数变换： \[\lambda = \frac{1}{\chi(1)}\sum\limits_{t\in G} f(t)\chi(t)=\frac{|G|}{\chi(1)}\langle f, \chi^*\rangle.\]

简略证明 计算 \(\rho_s^{-1}\rho_f\rho_s\) 可知其与 \(\rho_f\) 相等，即 \(\rho_f\) 是 \(V\) 的自同态，因而为同构. 然后计算 \(tr(\rho_f)\) 即可求得系数.

记 \(G\) 上所有类函数构成的空间为 \(H\)，则不可约特征标 \(\chi_1,\ldots,\chi_h\in H\).

Thm. 不可约特征标 \(\chi_1,\ldots,\chi_h\) 构成 \(H\) 的一组规范正交基. （只需证明每个与 \(\chi_i^*\) 正交的元素都是 \(0\)）

进一步容易得到如下定理：

Thm. \(G\) 的不可约表示个数等于 \(G\) 的共轭类个数. \(s\) 的共轭类元素个数 \(c(s)\).

还有如下推论：

\(\sum\limits_{i=1}^h \chi_i(s)^*\chi_i(s)=\frac{|G|}{c(s)}\).
若 \(t\) 与 \(s\) 不共轭，则 \(\sum\limits_{i=1}^h \chi_i(s)^*\chi_i(t)=0\).

典范分解：将不可约分解中同构的项合并所得到的分解 \(V=\bigoplus\limits_{i=1}^h V_i\). 典范分解是唯一的. 该分解可以由如下投影确定： \[p_{i}=\frac{\chi_{i}(1)}{|G|} \sum_{t \in G} \chi_{i}(t)^{*} \rho_{t}.\]

简略说明：由上面的 Prop 可知，\(p_i\) 在某个不可约表示 \(W\) 上的限制是常数 \(\frac{\chi_i(1)}{\chi_W(1)}\langle \chi_i,\chi_W \rangle\)，这个常数在 \(\chi_W=\chi_i\) 时是 \(1\)，否则是 \(0\)，因此 \(p_i\) 就是 \(V\to V_i\) 的射影.

显分解：将典范分解的组分 \(V_i\) 分解为若干 \(W_i\) 的直和. 这里没有完全搞懂…

第三章子群、群的直积、诱导表示

Abel 群的表示：\(G\) 是 Abel 群当且仅当其所有不可约表示的 degree 都为 \(1\).

群的直积：\(G_1\times G_2\) 中的乘法为 \((s_1,s_2)(t_1,t_2)=(s_1t_1,s_2t_2)\).

直积的表示：张量积 —— \((\rho_1\otimes \rho_2)(s_1,s_2)=\rho_1(s_1)\otimes \rho_2(s_2)\). 这是一个 \(G_1\times G_2\to GL(V_1\otimes V_2)\) 的同态.

不可约性在乘积上的传递：

若 \(\rho_i\) 是 \(G_i\) 的不可约表示，则 \(\rho_1\otimes \rho_2\) 是 \(G_1\times G_2\) 的不可约表示；

进一步，\(G_1\times G_2\) 的所有不可约表示都来自上述渠道.

诱导表示

给出 \(G\) 的一个表示 \(\rho: G\to GL(V)\)，将其限制在 \(G\) 的子群 \(H\) 上，可得到一个 \(H\) 在 \(V\) 上的表示 \(\rho |_H\).
考虑 \(W\leqslant V\)，且在 \(\rho_t,~t\in H\) 下稳定，则有 \(\rho|_H\) 的子表示 \(\theta: H\to GL(W)\).

故 \(\forall s\in G\)，\(\rho_s W\) 只取决于 \(s\) 所在的 \(H\) 的左陪集 \(sH\).\(\Longrightarrow\) 所有 \(\sigma\in G/H\) 都对应一个 \(V\) 的子空间 \(W_\sigma=\rho_s W\)，其中 \(s\in \sigma\).

这样，我们就可以定义 \(V\) 的子表示 \(\sum\limits_{\sigma\in G/H} W_\sigma\).

进一步，有下面的定义

诱导表示：若 \(V=\bigoplus\limits_{\sigma\in G/H} W_\sigma\) 则称 \((\rho, V)\) 是由 \((W,\theta)\) 诱导的.

若 \(R\) 是 \(G/H\) 的一个代表系，则 \(V=\bigoplus\limits_{r\in R}\rho_rW\)，故 \(\dim(V)=\sum\limits_{r\in R}\dim(\rho_rW)=[G:H]\dim(W)\).
例：\(V\) 是 \(G\) 的正则表示，则其由 \(H\leqslant G\) 在 \(W\leqslant V\) 内的正则表示诱导.
若 \(\rho_i\) 是由 \(\theta_i\) 诱导的（\(i=1,2\)），则 \(\rho_1\oplus \rho_2\) 可由 \(\theta_1\oplus\theta_2\) 诱导.
若 \(\rho\) 由 \(\theta\) 诱导，则 \(\rho\otimes\rho'\) 可由 \(\theta\otimes \rho'|_H\) 诱导.

存在性和唯一性

Thm. 设 \((W,\theta)\) 是 \(H\leqslant G\) 的一个表示，则存在 \(G\) 的表示 \((V,\rho)\)，s.t. \(\rho\) 是由 \(\theta\) 诱导的. 进一步，这个 \(\rho\) 在同构意义下唯一.

诱导表示的特征标

诱导表示的特征标 设 \(R\) 是 \(G/H\) 的一个代表系，则 \[\chi_\rho(u)=\sum\limits_{r\in R\atop r^{-1}ur\in H}\chi_\theta(r^{-1}ur)=\frac{1}{|H|} \sum_{s \in G \atop s^{-1} u s \in H} \chi_{\theta}\left(s^{-1} u s\right).\]

第六章群代数

Prop. 如果 \(ch K=0\)，则 \(K[G]\) 是半单代数.

一个练习 设 \(ch K>0\)，则 \(K[G]\) 半单 \(\iff\) \(p \nmid |G|\).

后面我们基本认为 \(K=\mathbb{C}\).

\(\mathbb{C}[G]\) 的分解 令 \(\rho_i: G\to GL(W_i), 1\leqslant i\leqslant h\) 是 \(G\) 同构意义下所有的不可约表示，记 \(n_i=\dim (W_i)\)，则可将 \(\rho_i\) 扩展为代数同态： \[\tilde{\rho}: \mathbf{C}[G] \rightarrow \prod_{i=1}^{h} \operatorname{End}\left(W_{i}\right) \cong \prod_{i=1}^{h} M_{n_{i}}(\mathbf{C}).\] 事实上，\(\tilde{\rho}\) 是一个同构. 考虑它的中心： \[Z(\mathbb{C}[G])\cong Z(M_{n_1}(\mathbb{C})\oplus\cdots\oplus M_{n_h}(\mathbb{C})) \cong \mathbb{C}\oplus\cdots\oplus\mathbb{C}.\] 即：\(Z(\mathbb{C}[G])\cong CF(G)\).

代数整数 \(\mathbb{C}\) 上整系数多项式的根.
下列命题等价：

\(x\) 在 \(\mathbb{Z}\) 上是整的；

\(R\) 中由 \(x\) 生成的子环 \(\mathbb{Z}[x]\) 作为一个 \(\mathbb{Z}\)-模是有限生成的；

存在一个 \(R\) 的有限生成 \(\mathbb{Z}\)-模，它包含 \(\mathbb{Z}[x]\).

特征标与代数整数 有限群表示的特征标是代数整数.
Prop. 令 \(u=\sum u(s)s\in Z(\mathbb{C}[G])\)，且 \(u(s)\) 都是代数整数，则 \(u\) 在 \(\mathbb{Z}\) 上也是整的.
Prop. 设 \(C\) 是 \(G\) 的中心，则 \(G\) 的不可约表示维数整除 \([G:C]\).

第七章诱导表示与 Mackey 分解

\(H\) 是 \(G\) 的子群，\(R\) 是 \(H\) 的左陪集代表系.
\(V\) 是一个 \(\mathbb{C}[G]\)-模，\(W\) 是 \(V\) 的一个子模.

诱导表示的定义是 \(V=\bigoplus\limits_{s\in R} sW\)，这实际上是在说 \(V\) 这个表示是不依赖于代表系 \(R\) 选取的. 一个等价的表述是：
令 \(W'=\mathbb{C}[G]\otimes_{\mathbb{C}[H]} W\) 是由 \(W\) 通过 \(\mathbb{C}[H]\) 到 \(\mathbb{C}[G]\) 的标量扩张而得到的 \(\mathbb{C}[G]\)-模，则单射 \(W\to V\) 可以线性地开拓为一个 \(\mathbb{C}[G]\)-同态 \(W'\to V\). 进一步，有

Prop. \(V\) 是由 \(W\) 所诱导的，当且仅当同态 \(i:\mathbb{C}[G]\otimes_{\mathbb{C}[H]}W\to V\) 是一个同构.

以下将 \(W\) 所诱导的 \(G\) 的表示记作 \({\rm Ind}_H^G (W)\) 或者 \({\rm Ind}(W)\). （其实感觉 \(W^G\) 更好…

诱导特征标

下面这个特征标叫做诱导特征标，即 \(\operatorname{Ind}_H^G (W)\) 的特征标： \[\mu^G(g)=\sum\limits_{i=1}^t \hat{\mu}(g_i^{-1}gg_i),~~~~其中~\hat{\mu}(x)=\begin{cases} \mu(x),& y\in H\\ 0, & y\notin H \end{cases}.\]

关于诱导特征标，有如下定理成立：

Frobenius 互反律 设 \(G\) 是有限群，\(H<G\). 设 \(\mu\) 是 \(H\) 的复特征标，\(\chi\) 是 \(G\) 的复特征标，则 \[\langle\mu^G ,\chi\rangle_G=\langle\mu,\chi|H\rangle_H\]

换言之：设 \(\psi\) 是 \(H\) 的不可约复表示，\(\varphi\) 是 \(G\) 的不可约复表示，则 \(\varphi\) 在 \(\psi^G\) 中的重数等于 \(\psi\) 在 \(\varphi|H\) 中的重数.

部分习题简略解答

以下是一些习题的解答…其中包括了几个wlz老师课上留的思考题

第一章 线性表示概论

第二章 特征标理论