群表示论龟速学习

感觉自己远离抽象代数太久了…很僵硬…
内容主要是 GTM 42:Serre 所著的《Linear Representations of Finite Groups》. 也参考了一些丘维声先生的《群表示论》.

第一章 线性表示概论

Def. 同态 $\rho: G\to GL(V)$ 称为 $G$ 在 $V$ 内的一个线性表示.

等价定义:

  • 空间 $V$ 是群代数 $K[G]$ 的左模(左-$K[G]$ 模).
  • 顾名思义,就是用一个 $GL(V)$ 中的矩阵来表示 $G$ 中的一个元素,而且 $GL(V)$ 中的运算也完全能刻画 $G$ 中的运算.
  • 例子:degree 为 $1$ 的表示,正则表示,置换表示…
我们只考虑 $V$ 是有限维的情形.
我们一般设 $V$ 是 $\mathbb{C}$ 上的空间.

表示与群代数的模:$G$ 的表示 $(\varphi,V)$ $\overset{\varphi^(\sum a_g g)=\sum a_g\varphi(g)}{\Longleftrightarrow}$ $K[G]$ 的表示 $(\varphi^,V)$ $\Longleftrightarrow$ $V$ 是左 $K[G]$-模.

范畴上的表示 更一般地,设 $\mathscr{U}$ 是一个范畴,取 $\forall A\in \mathscr{U}$,则同态 $\rho: G\to Aut(A)$ 是一个 $G$ 的表示.

表示的同态:设有表示 $(\rho, V)$ 和 $(\rho’, W)$,若同态 $f: V\to W$ 满足 $\rho_s\circ f = f\circ \rho_s’$(即图表 $\begin{matrix}
V & \overset{\rho_s}{\longrightarrow} & V \
f \downarrow & & \downarrow f \
W & \overset{\rho_s’}{\longrightarrow} & W \
\end{matrix}$交换),则称 $f$ 为二者之间的同态. 若 $f$ 为 $V\to W$ 的同构,则 $f$ 也是表示之间的同构.

子表示:若 $W\leqslant V$ 的子空间且在 $G$ 下不变,则 $\rho$ 在 $W$ 上的限制被 $\rho |_W$ 称为子表示. 当然,子表示 $\iff$ 子模.

表示的运算

  • 直和:$V\oplus W$,基本上是空间做直和;
  • 张量积:$V\otimes W$,基本上是空间做张量积。
    • 有自然同构:$End(W)\otimes End(V)\cong End(W\otimes V)$.

对偶表示:$\langle \rho_s x,\rho_s’x’\rangle = \langle x,x’\rangle$

Maschke 定理 每个表示都是不可约表示的直和. (每个表示都是半单代数)

$Sym^2$ 和 $Alt^2$:令 $\theta$ 是 $V\otimes V$ 的自同构,s.t. $\theta(e_i\cdot e_j)=e_j\cdot e_i$. 定义

  • $Sym^2(V)={z: \theta(z)=z}={e_i\otimes e_j + e_j\otimes e_i}$,$\dim = \frac{n(n+1)}{2}$;
  • $Alt^2(V)={z: \theta(z)=-z}={e_i\otimes e_j - e_j\otimes e_i}$,$\dim = \frac{n(n-1)}{2}$.

显然有 $Alt^2\cap Sym^2={0}$,因此结合维数,我们有 $V\otimes V=Sym^2(V)\oplus Alt^2(V)$.

第二章 特征标理论

Def. 设有表示 $\rho: G\to GL(V),s\mapsto \rho_s$,令 $\chi_\rho: G\to \mathbb{C},s\mapsto tr(\rho_s)$,称为 $\rho$ 的特征标.

  • $\chi_\rho(1)=tr(\rho(1))=\dim(V)=degree(\rho)$;
  • $\chi_\rho(s^{-1})=\lambda_1^+\cdots+\lambda_n^=(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)^=\chi_\rho^(s)$;
  • $\forall s,t$,总有 $\chi(st)=\chi(ts)$(trace 的交换性).

类函数:在共轭类上取值相等的函数. (特征标就是一种类函数)

  • 类函数全体构成线性空间,维数即为共轭类的数量.

特征标的运算性质:

  • 直和:$\chi_{\rho_1\oplus \rho_2}=\chi_{\rho_1}+\chi_{\rho_2}$.
  • 张量积:$\chi_{\rho_1\otimes \rho_2}=\chi_{\rho_1}\times \chi_{\rho_2}$.
  • Sym 与 Alt:$\chi_{Sym^2}=\frac{1}{2}\chi_\rho^2+\frac{1}{2}\chi_{\rho^2}$,$\chi_{Alt^2}=\frac{1}{2}\chi_\rho^2-\frac{1}{2}\chi_{\rho^2}$.

Schur 引理 不可约表示间的非平凡同态是同构.

特征标的内积:$\langle \varphi, \psi\rangle=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{s\in G} \varphi(s)\psi(s)^*$.

懒,不想细改,有时内积写作 $\langle\cdot, \cdot\rangle$,有时写作 $(\cdot|\cdot)$... 应不致混淆吧...

特征标的正交

  • 对于不可约指标,$\langle \chi,\chi \rangle = 1$;
  • 对不同构的不可约表示 $\rho_1,\rho_2$,设其特征标为 $\chi_1,\chi_2$,则 $\langle \chi_1,\chi_2 \rangle = 0$.

不可约分解的重数:设 $\rho: G\to GL(V)$ 的特征标为 $\varphi$,且有不可约分解 $V=\bigoplus\limits_{i=1}^k W_i$,则其中与 $W$(特征标设为 $\chi$)同构的个数为 $\langle \varphi,\chi \rangle$.

  • 由此立刻可得:两个表示同构当且仅当具有相同的特征标.

正则表示的特征标:$r_G(s)=\begin{cases}
|G|~ & s = 1 \
0~ & s\neq 1
\end{cases}\Rightarrow 不可约表示 W_i 在正则表示中的重数为其degree \chi_i(1)$.

  • 立即得到:$r_G(s)=\sum \chi_i(1)\chi_i(s)$,于是有:
    • $\sum\limits \chi_i^2(1)=|G|$;
    • 若 $s\neq 1$,则 $\sum \chi_i(1)\chi_i(s)=0$.

不可约表示的个数

Prop. $f$ 是类函数,$(\rho, V)$ 是 $G$ 的一个线性表示,特征标为 $\chi$. 若 $V$ 是不可约表示,则 $\rho_f = \sum\limits_{t\in G}f(t)\rho_t$ 是一个常数变换: $$\lambda = \frac{1}{\chi(1)}\sum\limits_{t\in G} f(t)\chi(t)=\frac{|G|}{\chi(1)}\langle f, \chi^*\rangle.$$

简略证明 计算 $\rho_s^{-1}\rho_f\rho_s$ 可知其与 $\rho_f$ 相等,即 $\rho_f$ 是 $V$ 的自同态,因而为同构. 然后计算 $tr(\rho_f)$ 即可求得系数.

记 $G$ 上所有类函数构成的空间为 $H$,则不可约特征标 $\chi_1,\ldots,\chi_h\in H$.

Thm. 不可约特征标 $\chi_1,\ldots,\chi_h$ 构成 $H$ 的一组规范正交基. (只需证明每个与 $\chi_i^*$ 正交的元素都是 $0$)

  • 进一步容易得到如下定理:

Thm. $G$ 的不可约表示个数等于 $G$ 的共轭类个数. $s$ 的共轭类元素个数 $c(s)$.

还有如下推论:

  • $\sum\limits_{i=1}^h \chi_i(s)^*\chi_i(s)=\frac{|G|}{c(s)}$.
  • 若 $t$ 与 $s$ 不共轭,则 $\sum\limits_{i=1}^h \chi_i(s)^*\chi_i(t)=0$.

典范分解:将不可约分解中同构的项合并所得到的分解 $V=\bigoplus\limits_{i=1}^h V_i$. 典范分解是唯一的. 该分解可以由如下投影确定:
$$p_{i}=\frac{\chi_{i}(1)}{|G|} \sum_{t \in G} \chi_{i}(t)^{*} \rho_{t}.$$

简略说明:由上面的 Prop 可知,$p_i$ 在某个不可约表示 $W$ 上的限制是常数 $\frac{\chi_i(1)}{\chi_W(1)}\langle \chi_i,\chi_W \rangle$,这个常数在 $\chi_W=\chi_i$ 时是 $1$,否则是 $0$,因此 $p_i$ 就是 $V\to V_i$ 的射影.

显分解:将典范分解的组分 $V_i$ 分解为若干 $W_i$ 的直和. 这里没有完全搞懂…

第三章 子群、群的直积、诱导表示

Abel 群的表示:$G$ 是 Abel 群当且仅当其所有不可约表示的 degree 都为 $1$.

群的直积:$G_1\times G_2$ 中的乘法为 $(s_1,s_2)(t_1,t_2)=(s_1t_1,s_2t_2)$.

  • 直积的表示:张量积 —— $(\rho_1\otimes \rho_2)(s_1,s_2)=\rho_1(s_1)\otimes \rho_2(s_2)$. 这是一个 $G_1\times G_2\to GL(V_1\otimes V_2)$ 的同态.

不可约性在乘积上的传递

  1. 若 $\rho_i$ 是 $G_i$ 的不可约表示,则 $\rho_1\otimes \rho_2$ 是 $G_1\times G_2$ 的不可约表示;
  2. 进一步,$G_1\times G_2$ 的所有不可约表示都来自上述渠道.

诱导表示

  • 给出 $G$ 的一个表示 $\rho: G\to GL(V)$,将其限制在 $G$ 的子群 $H$ 上,可得到一个 $H$ 在 $V$ 上的表示 $\rho |_H$.
  • 考虑 $W\leqslant V$,且在 $\rho_t,~t\in H$ 下稳定,则有 $\rho|_H$ 的子表示 $\theta: H\to GL(W)$.

故 $\forall s\in G$,$\rho_s W$ 只取决于 $s$ 所在的 $H$ 的左陪集 $sH$.$\Longrightarrow$ 所有 $\sigma\in G/H$ 都对应一个 $V$ 的子空间 $W_\sigma=\rho_s W$,其中 $s\in \sigma$.

这样,我们就可以定义 $V$ 的子表示 $\sum\limits_{\sigma\in G/H} W_\sigma$.

进一步,有下面的定义

诱导表示:若 $V=\bigoplus\limits_{\sigma\in G/H} W_\sigma$ 则称 $(\rho, V)$ 是由 $(W,\theta)$ 诱导的.

  • 若 $R$ 是 $G/H$ 的一个代表系,则 $V=\bigoplus\limits_{r\in R}\rho_rW$,故 $\dim(V)=\sum\limits_{r\in R}\dim(\rho_rW)=[G:H]\dim(W)$.
  • 例:$V$ 是 $G$ 的正则表示,则其由 $H\leqslant G$ 在 $W\leqslant V$ 内的正则表示诱导.
  • 若 $\rho_i$ 是由 $\theta_i$ 诱导的($i=1,2$), 则 $\rho_1\oplus \rho_2$ 可由 $\theta_1\oplus\theta_2$ 诱导.
  • 若 $\rho$ 由 $\theta$ 诱导,则 $\rho\otimes\rho’$ 可由 $\theta\otimes \rho’|_H$ 诱导.

存在性和唯一性

Thm. 设 $(W,\theta)$ 是 $H\leqslant G$ 的一个表示,则存在 $G$ 的表示 $(V,\rho)$,s.t. $\rho$ 是由 $\theta$ 诱导的. 进一步,这个 $\rho$ 在同构意义下唯一.

诱导表示的特征标

诱导表示的特征标 设 $R$ 是 $G/H$ 的一个代表系,则
$$\chi_\rho(u)=\sum\limits_{r\in R\atop r^{-1}ur\in H}\chi_\theta(r^{-1}ur)=\frac{1}{|H|} \sum_{s \in G \atop s^{-1} u s \in H} \chi_{\theta}\left(s^{-1} u s\right).$$

第六章 群代数

Prop. 如果 $ch K=0$,则 $K[G]$ 是半单代数.

一个练习 设 $ch K>0$,则 $K[G]$ 半单 $\iff$ $p \nmid |G|$.

后面我们基本认为 $K=\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}[G]$ 的分解 令 $\rho_i: G\to GL(W_i), 1\leqslant i\leqslant h$ 是 $G$ 同构意义下所有的不可约表示,记 $n_i=\dim (W_i)$,则可将 $\rho_i$ 扩展为代数同态:
$$\tilde{\rho}: \mathbf{C}[G] \rightarrow \prod_{i=1}^{h} \operatorname{End}\left(W_{i}\right) \cong \prod_{i=1}^{h} M_{n_{i}}(\mathbf{C}).$$
事实上,$\tilde{\rho}$ 是一个同构. 考虑它的中心:
$$Z(\mathbb{C}[G])\cong Z(M_{n_1}(\mathbb{C})\oplus\cdots\oplus M_{n_h}(\mathbb{C})) \cong \mathbb{C}\oplus\cdots\oplus\mathbb{C}.$$
即:$Z(\mathbb{C}[G])\cong CF(G)$.

代数整数 $\mathbb{C}$ 上整系数多项式的根.
下列命题等价:

  1. $x$ 在 $\mathbb{Z}$ 上是整的;
  2. $R$ 中由 $x$ 生成的子环 $\mathbb{Z}[x]$ 作为一个 $\mathbb{Z}$-模是有限生成的;
  3. 存在一个 $R$ 的有限生成 $\mathbb{Z}$-模,它包含 $\mathbb{Z}[x]$.

特征标与代数整数 有限群表示的特征标是代数整数.
Prop. 令 $u=\sum u(s)s\in Z(\mathbb{C}[G])$,且 $u(s)$ 都是代数整数,则 $u$ 在 $\mathbb{Z}$ 上也是整的.
Prop. 设 $C$ 是 $G$ 的中心,则 $G$ 的不可约表示维数整除 $[G:C]$.

第七章 诱导表示与 Mackey 分解

  • $H$ 是 $G$ 的子群,$R$ 是 $H$ 的左陪集代表系.
  • $V$ 是一个 $\mathbb{C}[G]$-模,$W$ 是 $V$ 的一个子模.

诱导表示的定义是 $V=\bigoplus\limits_{s\in R} sW$,这实际上是在说 $V$ 这个表示是不依赖于代表系 $R$ 选取的. 一个等价的表述是:
令 $W’=\mathbb{C}[G]\otimes_{\mathbb{C}[H]} W$ 是由 $W$ 通过 $\mathbb{C}[H]$ 到 $\mathbb{C}[G]$ 的标量扩张而得到的 $\mathbb{C}[G]$-模,则单射 $W\to V$ 可以线性地开拓为一个 $\mathbb{C}[G]$-同态 $W’\to V$. 进一步,有

Prop. $V$ 是由 $W$ 所诱导的,当且仅当同态 $i:\mathbb{C}[G]\otimes_{\mathbb{C}[H]}W\to V$ 是一个同构.

  • 以下将 $W$ 所诱导的 $G$ 的表示记作 ${\rm Ind}_H^G (W)$ 或者 ${\rm Ind}(W)$. (其实感觉 $W^G$ 更好…

诱导特征标

下面这个特征标叫做诱导特征标,即 $\operatorname{Ind}H^G (W)$ 的特征标:
$$\mu^G(g)=\sum\limits
{i=1}^t \hat{\mu}(g_i^{-1}gg_i),其中\hat{\mu}(x)=\begin{cases}
\mu(x),& y\in H\
0, & y\notin H
\end{cases}.$$

关于诱导特征标,有如下定理成立:

Frobenius 互反律 设 $G$ 是有限群,$H<G$. 设 $\mu$ 是 $H$ 的复特征标,$\chi$ 是 $G$ 的复特征标,则 $$\langle\mu^G ,\chi\rangle_G=\langle\mu,\chi|H\rangle_H$$

  • 换言之:设 $\psi$ 是 $H$ 的不可约复表示,$\varphi$ 是 $G$ 的不可约复表示,则 $\varphi$ 在 $\psi^G$ 中的重数等于 $\psi$ 在 $\varphi|H$ 中的重数.

部分习题简略解答

以下是一些习题的解答…其中包括了几个wlz老师课上留的思考题