教学质量低下是一方面，自己天资不足也是一方面（
这门课不如叫“曲线、曲面论”
重要的定义
正则曲线
给定参数曲线 \(C:r=r(t),~t\in(a,b)\). 若 \(r'(t)\neq 0\) 对于 \(\forall~t\) 成立, 则称 \(C\) 为正则曲线.
曲线的容许参数变换
给定正则曲线 \(C:r=r(t)\), 若参数变换 \(t=t(u)\) 满足
- \(t(u)\) 是 \(C^3\) 阶的;
- \(t'(u)\) 处处非零,
则称之为容许的参数变换. 当 \(t'(u)>0\) 时称为保向的, \(t'(u)<0\) 时称为反向的.
曲率向量
正则曲线 \(C:r=r(t)\) 的单位切向量场 \(T(t(s))\) 关于弧长 \(s\) 的导向量 \(\frac{dT}{ds}=\frac{d^2r}{ds^2}\) 称为曲线 \(C\) 在 \(r(t(s))\) 处的曲率向量; 曲率向量的模长 \(\kappa=|\frac{dT}{ds}|\) 称为 \(C\) 在 \(r(t(s))\) 处的曲率.
相对曲率
给定二阶连续可微的弧长参数化平面曲线 \(C:r=r(s)=(x(s),y(s))\), 局部可取到切向角 \({\rm Arctan}\frac{y'}{x'}\) 的可微单值支, 定义其对 \(s\) 的导数 \(\kappa_r=\theta'(s)\) 为相对曲率.
正则曲面
给定参数曲面 \(S:r=r(u,v),~(u,v)\in U\). 若处处有 \(r_u(u,v)\times r_v(u,v)\neq 0\), 则称 \(S\) 为正则曲面.
曲面的容许参数变换
给定正则曲面 \(S:r=r(u,v)\), 若参数变换 \((u,v)=(u(x,y),v(x,y))\) 满足:
- 是连续可微的一一对应;
- Jacobi 行列式 \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\) 处处非零,
则称之为容许的参数变换, 若 \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}>0\), 称为保向的, 若 \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}<0\), 称为反向的.
局部等距对应
对于两张对应的曲面, 若它们对应着的弧段总是具有相等的弧段长度, 则称这个对应是两张曲面的一个局部等距对应.
内蕴量和内蕴几何体
在曲面上, 由其第一基本形式可完全确定的几何量, 称为曲面的内蕴量; 由其第一基本形式可完全确定属性的几何体, 称为曲面的内蕴几何体.
主曲率和主方向
曲面 \(S\) 上的点 \(P\) 处的法曲率关于切方向的两个最值, 分别称为曲面 \(S\) 在 \(P\) 处的主曲率, 使得法曲率达到最值的两个方向称为主方向.
脐点
若曲面 \(S\) 在 \(P\) 处的两个主曲率相等, 则称 \(P\) 为曲面 \(S\) 的脐点. 若脐点处的主曲率均为0, 称为平点, 否则称为圆点.
极小曲面
若曲面的平均曲率恒为零, 称之为极小曲面.
抽象曲面
称二元有序组 \((D,ds^2)\) 为一张抽象曲面, 其中 \(D\subset\mathbf{R}^2\) 是参数平面 \(\mathbf{R}^2\) 上指定的区域, \(ds^2\) 是定义域上的正定的二次微分形式.
重要的定理
曲线论基本定理
给定区间 \(I=(a,b)\) 上的连续可微函数 \(\overline{\kappa}(s)>0\) 和连续函数 \(\overline{\tau}(s)\), 则在 \(E^3\) 中
- 存在弧长 \(s\) 参数化曲线 \(C:r=r(s)\), 使其曲率函数 \(\kappa(s)=\overline{\kappa}(s)\), 并且其挠率函数 \(\tau(s)=\overline{\tau}(s)\);
- 上述曲线 \(C\) 在合同的意义下是唯一的.
可展曲面的分类定理
可展曲面必是煮面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成.
局部等距对应的条件
两张曲面能建立局部等距对应的充要条件是按照对应关系有相同的第一基本形式.
Gauss绝妙定理
曲面 \(S\) 的Gauss曲率是内蕴量, 可表示为 \[K=\frac{-R_{1212}}{g_{11}g_{22}-(g_{12})^2}.\] 在正交网下, 有 \[K=\frac{-1}{\sqrt{EG}}\left(\left[\frac{(\sqrt{E})_2}{\sqrt{G}}\right]_2+\left[\frac{(\sqrt{G})_1}{\sqrt{G}}\right]_1\right).\]
曲面论基本定理
给定 \((u^1,u^2)\) 平面上的单连通区域 \(U\). 给定 \(U\) 上的 \(C^2\) 函数 \(\overline{g}_{ij}\) 和 \(\overline{\Omega}_{ij}\), s.t. \(\overline{g}\) 正定, \(\overline{\Omega}\) 对称, 并且 \(\overline{g}\) 和 \(\overline{\Omega}\) 满足 Gauss-Codazzi方程, 则在 \(E^3\) 中
- 存在正则曲面 \(S:r=r(u^1,u^2),~(u^1,u^2)\in U\), s.t. 其第一第二基本形式分别为 \(\overline{g}\) 和 \(\overline{\Omega}\);
- 上述曲面 \(S\) 在合同的意义下是唯一的.
测地线存在唯一性定理
给定正则曲面 \(S:(u^1,u^2)\) 上任意一点 \(P_0(u_0^1,u_0^2)\), 则存在 \(P_0\) 的某个邻域 \(\Sigma_0\subset S\), s.t. 在 \(\Sigma_0\) 内从点 \(P_0\) 出发沿指定单位切向 \(T_0\in T_{P_0}\) 存在唯一一条测地线 \(C:r(u^1(s),u^2(s))\), s.t. \[\left(r_i\frac{du^i}{ds}\right)\Bigg|_{s=s_0}=T_0,~u^i(s_0)=u_0^i,~i=1,2.\]
重要的式子
Euler公式
\[\kappa_n(P,a)=\kappa_1|_P\cos^2\theta+\kappa_2|_P\sin^2\theta.\]
Rodriques公式
已知正则曲面 \(S:r(u^1,u^2)\) 的弧长参数化曲线 \(C:r(u^1(s),u^2(s))\), 则 \(C\) 是曲率线等价于沿 \(C\) 存在 \(\lambda(s)\), s.t. \[\frac{dn}{ds}=-\lambda(s)\frac{dr}{ds}.\] 即, 沿 \(C\) 有 \(dn=-\lambda(s)dr\).
正交曲率线网下的Gauss-Codazzi方程
\[ \begin{cases} L_2 &= HE_2, \\ N_1 &= HG_1. \\ \end{cases} \]
判断内蕴量(几何体)
常见的内蕴量(内蕴几何体)
曲线的弧段长度, 曲线的测地曲率, 曲线的交角, 曲面的第一基本形式, 曲线的区域面积, Gauss曲率, 测地线, 测地圆周, 测地开圆盘, 抛物点, 黎曼曲率张量, 联络系数.
常见的不是内蕴量的东西
曲线的曲率, 曲线的挠率, 法曲率, 直线, 圆周, 第一基本形式的系数矩阵, 第二基本形式, 主曲率, 主方向, 脐点, 平点, 圆点, 平均曲率, Weingarten矩阵, 第三基本形式, 渐近曲线.