- 2019 - 2020 学年 秋季学期 研究生课程 群表示论 王立中老师
19-20学年秋 群表示论 王立中老师
前 6 题每题 15 分，第 7 题 10 分..这里没有记下第 7 题…（学得太差…Orz）
- 证明有限群 \(G\) 的不可约复表示只有有限多个，且其特征标线性无关.（所有不可约表示都在正则表示中出现，因而只有有限多，线性无关用正交关系证明）
- 设 \(K\) 是特征为 \(p>0\) 的域，\(G\) 是有限群，证明 \(K[G]\) 半单当且仅当 \(p\) 不整除 \(G\) 的阶.（Serre 习题 6.1，互素推半单同 Serre 书 Thm 1 的证明，半单推互素用反证法）
- 设 \(K\) 是一个有限域，\(H\) 是 \(\mathrm{SL}_n(K)\) 中所有上三角矩阵所构成的子群. 设有乘法群同态 \(\omega: K^*\to\mathbb{C}^*\)，且 \(\omega^2\neq 1\). 则 \(H\) 有 \(1\) 级表示：\[\chi_\omega\left(\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \\ \end{bmatrix}\right)=\omega(a).\]证明 \(\chi_\omega\) 的诱导表示不可约.（Serre 习题 7.4，用 Mackey 判定）
- 设 \(X\) 是 \(G\) 的子群族，考虑映射：\[\mathbb{C}\otimes\operatorname{Ind}:\mathbb{C}\otimes \bigoplus\limits_{H\in X}R(H)\to \mathbb{C}\otimes R(G)\] \[\mathbb{C}\otimes\operatorname{Res}:\mathbb{C}\otimes R(G)\to \mathbb{C}\otimes \bigoplus\limits_{H\in X}R(H)\]证明：
- \(\mathbb{C}\otimes \operatorname{Ind}\) 的像是环 \(\mathbb{C}\otimes R(G)\) 的理想；（用 \(\operatorname{Ind}(\varphi\cdot\operatorname{Res}\psi) = \operatorname{Ind}\varphi\cdot \psi\)）
- 证明 \(\mathbb{C}\otimes\operatorname{Ind}\) 是满射当且仅当 \(\mathbb{C}\otimes\operatorname{Res}\) 是单射.
- 求二面体群 \(D_{10}\) 的特征标表，并求其在域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 上所有表示的 Schur 指数.（特征标表见 Serre 书 chp 5，Schur 指标是 \(1\)，参见 Serre 习题 12.1）
- 证明：
- 有限群 \(G\) 的所有特征标都可以写为单项特征标的整系数线性组合；（特征标 \(\to\) 初等子群 \(\to\) 单项特征标）
- 证明交错群 \(A_5\) 至少有一个特征标不能写为单项特征标的正实系数线性组合.（Serre 习题 10.5）
- 还有一个题，但敝人才疏学浅…并不会做…也没有记下是什么题.